Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/Dreidimensional/Ebene/Niveauverbindungen/Bemerkung

Man platziert die ${}n$ Punkte ${}P_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, in der Ebene

${}\mathbb {R} ^{2}\times \{0\}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$

Es sei ${}\epsilon >0$ derart, dass die ${}\epsilon$-Umgebungen der Punkte zueinander disjunkt sind. Sei ${}m={\binom {n}{2}}$. Man platziert nun in der ${}\epsilon$-Umgebung von einem jeden Punkt ${}P_{i}$ jeweils ${}n$ Punkte ${}Q_{ij}$ (Liftungspunkte) und setzt diese in die Ebene

${}\mathbb {R} ^{2}\times \{m\}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.$

Der Punkt ${}P_{i}$ wird durch gerade (ziemlich vertikale) Strecken ${}V_{ij}$ mit seinen ${}n$ Liftungspunkten verbunden. Diese Verbindungsstrecken liegen allesamt im Schlauch ${}U{\left(P_{i},\epsilon \right)}\times [0,m]$. Zu jedem Punktepaar ${}P_{i}\neq P_{j}$ gehört eine Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}\times {\ell }$, ${}\ell =1,\ldots ,m$. Die Punkte ${}P_{i}$ und ${}P_{j}$ werden nun dadurch miteinander verbunden, dass man von ${}P_{i}$ aus entlang ${}V_{ij}$ und von ${}P_{j}$ aus entlang ${}V_{ji}$ jeweils bis zum Durchstoßungspunkt mit der ${}\ell$-Ebene hochgeht. Die beiden Durchstoßungspunkte werden dann horizontal in der ${}\ell$-Ebene durch eine gerade Strecke verbunden. In dieser Konstruktion werden alle Punkte miteinander überschneidungsfrei verbunden, da die Verbindungswege nur in den Schläuchen und in den verschiedenen Ebenen verlaufen.