Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/Dreidimensional/Kugeloberfläche/Bemerkung

Man ordnet die ${}n$ Knotenpunkte auf einer Kugeloberfläche an und verbindet je zwei Punkte durch „Fäden“. Dabei dürfen die Fäden im Allgemeinen nicht völlig straff sein. Wenn man die Punkte durch gerade Strecken verbinden möchte, so kann es bei einer gegebenen Punktkonfiguration auf der Kugeloberfläche zu Überschneidungen kommen. Diese kann man jedoch auch dadurch wegkriegen, dass man die einzelnen Punkte auf der Kugeloberfläche etwas bewegt. Dass dies möglich ist, beweist man durch Induktion über die Anzahl ${}n$. Es seien also ${}n$ Punkte auf der Kugeloberfläche gegeben mit der Eigenschaft, dass die Streckenverbindungen zu je zwei Punkten sich nicht treffen (außer in den Punkten selbst), und es soll noch ein weiterer Punkt hinzugenommen werden derart, dass auch die neuen Verbindungsstrecken dieses neuen Punktes mit den zuvor gegebenen Punkten keine Überschneidungen mit den alten Verbindungsstrecken besitzt. Ein alter Punkt ${}u$ und die Verbindungsstrecke zu zwei alten Punkten ${}v$ und ${}w$ (wichtig ist nur der Fall, wo diese Punkte verschieden sind) liegt in der durch ${}u,v,w$ definierten Ebene ${}F$ im Raum. Diese Ebene schneidet die Kugeloberfläche in einer Kreissphäre, und auf dieser darf der neue Punkt nicht liegen. Da es nur endlich viele Dreierpaare gibt, gibt es nur endlich viele Ebenen bzw. Sphären, die man ausschließen muss.