Unitärer Vektorraum/Isometrie/Eigenwerte/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $\phi (v)=\lambda v$  mit  $v\ne 0$,  d.h. $v$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert  $\lambda \in 𝕂$.  Wegen der Isometrieeigenschaft gilt

$\Vert v\Vert =\Vert \phi (v)\Vert =\Vert \lambda v\Vert =|\lambda |\cdot \Vert v\Vert .$

Wegen  $\Vert v\Vert \ne 0$  folgt daraus  $|\lambda |=1$.  Im Reellen bedeutet dies  $\lambda =\pm 1$. 

Zur bewiesenen Aussage