Unitärer Vektorraum/Isometrie/Eigenwerte/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}\varphi (v)=\lambda v$  mit  ${}v\neq 0$,  d.h. ${}v$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert  ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$.  Wegen der Isometrieeigenschaft gilt

${}\Vert {v}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

Wegen  ${}\Vert {v}\Vert \neq 0$  folgt daraus  ${}\vert {\lambda }\vert =1$.  Im Reellen bedeutet dies  ${}\lambda =\pm 1$. 

Zur bewiesenen Aussage