Untergruppen von Z^m/Endlich erzeugt/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen dies durch Induktion über ${}m$.

Induktionsanfang: Es sei ${}m=1$.

Wenn ${}U={0}$ wird ${}U$ durch ${}0$ erzeugt. Andernfalls ist ${}U$ nicht die Nullgruppe und enthält daher noch weitere Elemente. Es sei ${}a\in U$ mit ${}\vert {a}\vert \neq 0$ minimal. Behauptung: ${}U$ wird durch ${}a$ erzeugt. Es sei ${}x\in U$ beliebig. Dann liefert Division mit Rest ${}x=aq+r$ mit ${}0\leq r<\vert {a}\vert$. Wegen ${}r=x-aq$ ist ${}r\in U$. Da ${}a$ minimal ist, muss ${}r=0$ sein. Daher wird ${}U$ tatsächlich durch ${}a$ erzeugt.

Induktionsvoraussetzung: Es sei jede Untergruppe von ${}\mathbb {Z} ^{m_{0}}$ für ${}m_{0}<m$ endlich erzeugt durch höchstens ${}m_{0}$ Erzeuger (o.B.d.A. können wir hier immer genau ${}m_{0}$ Erzeuger ${}y_{1},\ldots ,y_{m_{0}}$ annehmen).

Induktionsschritt: Wir fixieren eine Untergruppe ${}U\subseteq \mathbb {Z} ^{m}$. Wir projizieren ${}\mathbb {Z} ^{m}$ kanonisch auf die letzte Komponente:

$p\colon \mathbb {Z} ^{m}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a_{1},\ldots ,a_{m})\longmapsto a_{m}.$

Es gilt ${}\operatorname {kern} p=\mathbb {Z} ^{m-1}$. Daher ist ${}U\cap \operatorname {kern} p$ endlich erzeugt durch ${}y_{1},\ldots ,y_{m-1}$ aufgrund der Induktionsvoraussetzung. Es gilt auch ${}\operatorname {bild} p=\mathbb {Z}$. Daher ist ${}p(U)$ endlich erzeugt durch ${}z=p(y_{m})$. Es sei ${}y\in U$ beliebig. Es gilt ${}p(y)=a_{m}z$ und ${}y'=y-a_{m}y_{m}\in U\cap \operatorname {kern} p$. Daher ist ${}y'=a_{1}y_{1}+\ldots +a_{m-1}y_{m-1}$ und dies führt zu

$y=a_{1}y_{1}+...+a_{m}y_{m}.$

${}U$ ist daher endlich erzeugt durch höchstens ${}m$ Elemente von ${}U$.

Zur bewiesenen Aussage