Untergruppenkriterium/Aufgabe/2/Lösung

Behauptung: Eine nichtleere Teilmenge H ⊆ G einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

       f,g ∈ H ⇒ f*g^(-1) ∈ H für alle g,h ∈ H   :=*

Beweis:

→

Ist (H,*) eine Gruppe, dann ist die Behauptung erfüllt.

←

Sei umgekehrt H eine nichtleere Teilmenge von G und gelte *. Da U ≠ {} ist, existiert ein a ∈ H.

⇒ a*a^(-1) ∈ H. (Gruppe hat neutrales Element erfüllt)

⇒ 1*a^(-1) ∈ H. (Gruppe hat inverses Element erfüllt)

Außerdem ist das Gruppenkriterium Assoziativität erfüllt, da die Assoziativität auf Teilmengen gegeben ist. (Gruppe assoziativ)

Somit folgt insgesamt die Behauptung.