Untervektorraum/Q^n/Ganzzahlige Basis/Aufgabe/Lösung

Es sei $u_1,\dots ,u_m$ eine Basis von $U$. Jeder dieser Basisvektoren hat die Form

$u=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ ⋮\\ q_n\end{array}\right)$

mit rationalen Zahlen

$q_j=\frac{r_j}{s_j}$

mit ganzen Zahlen $r_j,s_j$ und  $s_j\ne 0$.  Es sei

$s=s_1\cdots s_n\ne 0.$

Dann besitzt

$su=s\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ ⋮\\ q_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}s{q}_1\\ ⋮\\ s{q}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}s\frac{r_1}{s_1}\\ ⋮\\ s\frac{r_n}{s_n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{s}_2\cdots s_n{r}_1\\ ⋮\\ s_1\cdots s_{n-1}{r}_n\end{array}\right)$

ganzzahlige Einträge. Wir ersetzen nun jeden Basisvektor $u_i$ durch ein solches Vielfaches $\ne 0$, deren Einträge ganzzahlig sind. Da man aus dieser neuen Familie die ursprüngliche Basis durch skalare Multiplikation zurückgewinnen kann, liegt ein Erzeugendensystem von $U$ vor, und da die Anzahl gleich der Dimension ist, handelt es sich um eine Basis.

Zur gelösten Aufgabe