Untervektorraum/Q^n/Ganzzahlige Basis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{m}$ eine Basis von ${}U$. Jeder dieser Basisvektoren hat die Form

${}u={\begin{pmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\end{pmatrix}}\,$

mit rationalen Zahlen

${}q_{j}={\frac {r_{j}}{s_{j}}}\,$

mit ganzen Zahlen ${}r_{j},s_{j}$ und ${}s_{j}\neq 0$. Es sei

${}s=s_{1}\cdots s_{n}\neq 0\,.$

Dann besitzt

${}su=s{\begin{pmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}sq_{1}\\\vdots \\sq_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s{\frac {r_{1}}{s_{1}}}\\\vdots \\s{\frac {r_{n}}{s_{n}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{2}\cdots s_{n}r_{1}\\\vdots \\s_{1}\cdots s_{n-1}r_{n}\end{pmatrix}}\,$

ganzzahlige Einträge. Wir ersetzen nun jeden Basisvektor ${}u_{i}$ durch ein solches Vielfaches ${}\neq 0$, deren Einträge ganzzahlig sind. Da man aus dieser neuen Familie die ursprüngliche Basis durch skalare Multiplikation zurückgewinnen kann, liegt ein Erzeugendensystem von ${}U$ vor, und da die Anzahl gleich der Dimension ist, handelt es sich um eine Basis.

Zur gelösten Aufgabe