Variablenprodukt/3/Glattheit/Beispiel

Zu

$K^{3}\longrightarrow K,\,(x,y,z)\longmapsto xyz,$

ist die Nullstellenmenge die Vereinigung der drei Achsenebenen, also zweidimensional. Die Jacobimatrix ist

$(yz,xz,xy).$

Im Nullpunkt ist das die Nullmatrix und es liegt ein singulärer Punkt vor. Aber auch in einem Punkt mit ${}x=y=0$ (unabhängig vom Wert von ${}z$) liegt die Nullmatrix vor und der Punkt ist singulär. Wenn hingegen ${}x=0$ ist und die beiden anderen Koordinaten ${}y,z$ nicht ${}0$ sind, so ist die Jacobimatrix gleich ${}(yz,0,0)$ und hat den Rang ${}1$, ein solcher Punkt ist also glatt.