Varietäten/Dimensionstheorie/Anforderungen/Bemerkung

1. Der affine Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ soll die Dimension ${}n$ haben.
2. Ein einzelner Punkt soll nulldimensional sein.
3. Bei einem linearen (oder affinen) Unterraum soll die Vektorraumdimension gleich der Dimension sein.
4. Bei einer komplexen Mannigfaltigkeit soll die Dimension der Mannigfaltigkeit die Dimension sein.
5. Die Dimension eines geometrischen Objekt, das sich aus verschiedenen (irreduziblen) Komponenten zusammensetzt, sollte die maximale Dimension der beteiligten Komponenten sein.
6. Bei einem einzigen Polynom ${}\neq 0$ in ${}n$ Variablen soll die Faser die Dimension ${}n-1$ besitzen (Hyperfläche).
7. Zu affin-algebraischen Mengen ${}X$ und ${}Y$ soll die Dimension des Produktes ${}X\times Y$ gleich der Summe der beiden Dimensionen sein. Insbesondere soll die Dimension von ${}X\times {{\mathbb {A} }_{}^{n}}$ gleich ${}\operatorname {dim} {\left(X\right)}+n$ sein.
8. Wenn eine polynomiale Abbildung

   $\varphi \colon X\longrightarrow Y$

   zwischen affin-algebraischen Mengen ${}X$ und ${}Y$ vorliegt, bei der alle Fasern aus endlich vielen Punkten bestehen, sollen ${}X$ und ${}Y$ die gleiche Dimension haben.