Vektor/(5,-3,4), (2,4,-7)/Orthogonalraum/Aufgabe/Lösung

Die beiden Vektoren sind offensichtlich linear unabhängig, so dass sie in der Tat eine Ebene erzeugen und das orthogonale Komplement eine Gerade ist. Die Bedingungen für einen Vektor ${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$, zu dem orthogonalen Komplement zu gehören, sind

${}5x-3y+4z=0\,$

und

${}2x+4y-7z=0\,.$

Die lineare Kombination ${}2I-5II$ führt auf

${}-26y+43z=0\,.$

Dafür ist ${}y=43$ und ${}z=26$ eine Lösung, und bei dieser Vorgabe ist

${}x=-2y+{\frac {7}{2}}z=-86+91=5\,.$

Also ist das orthogonale Komplement gleich

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}5\\43\\26\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe