Vektorbündel/Endliche Strukturgruppe/Trivialisierbarkeit/Nicht-abelsche Kohomologie/Bemerkung

Ein Vektorbündel ${}E$ auf ${}X$ wird durch eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit lokalen verträglichen Identifizierungen ${}E{|}_{U_{i}}\cong {\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}$ beschrieben. Die über ${}U_{ij}=U_{i}\cap U_{j}$ gegebenen Übergangsabbildungen ${}\varphi _{ij}\in \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\Gamma (U_{ij},{\mathcal {O}}_{X}\right)})$ definieren eine Čech-Kohomologieklasse und somit ein Element in der nicht-abelschen Kohomologie ${}H^{1}(X,\operatorname {GL} _{r}\!{\left(-\right)})$ (das ist lediglich eine Menge, die die Isomorphieklassen von Vektorbündeln repräsentiert, aber keine Gruppe). Es ist verlockend zu vermuten, dass die durch eine galoissche Überlagerung

$\varphi \colon Y\longrightarrow X$

mit Galoisgruppe ${}G$ trivialisierbaren Vektorbündel ${}E$ durch Kohomologieklassen ${}c\in H^{1}(X,\operatorname {GL} _{r}\!{\left(-\right)})$ repräsentiert werden, die von einer Klasse ${}{\tilde {c}}\in H^{1}(X,G)$ via einer Darstellung

$H^{1}(X,G)\longrightarrow H^{1}(X,\operatorname {GL} _{r}\!{\left(-\right)})$

herrühren. Bei einem integren Schema ${}X$ besitzt aber eine endliche Gruppe ${}G$ auf jeder offenen Menge nur die konstanten Schnitte, sodass die Kohomologiemenge ${}H^{1}(X,G)$ in der Zariski-Topologie trivial ist.

Dies ändert sich, wenn man statt mit der Zariski-Topologie mit der étalen oder der treuflachen Topologie arbeitet. Die Menge ${}H^{1}(X_{\rm {{\acute {e}}t}},G)$ klassifiziert die étalen ${}G$-Hauptfaserbündel über ${}X$. Wenn eine Darstellung

$\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$

und ein étales ${}G$-Hauptfaserbündel

$\varphi \colon Y\longrightarrow X$

gegeben ist, so wird die zugehörige Klasse ${}{\tilde {c}}\in H^{1}(X_{\rm {{\acute {e}}t}},G)$ auf ${}Y$ zu ${}0$, und dasselbe gilt für die Kohomologieklasse ${}c=\rho ({\tilde {c}})\in H^{1}(X_{\rm {{\acute {e}}t}},\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)})=H^{1}(X,\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)})$ (Vektorbündel in der Zariski- und in der étalen Topologie sind äquivalent), sodass das durch ${}c$ repräsentierte Vektorbündel ${}E(c)$ auf ${}X$ über ${}Y$ trivialisiert.