Vektorfeld/(-y,x)/Kreisbewegung/Beispiel

Wir betrachten das Vektorfeld

$F:{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(x,y)⟼(-y,x)$

und den Weg

$\gamma :[0,2\pi ]⟶{ℝ}^2,t⟼(\cos t,\sin t).$

Die Ableitung von $\gamma$ ist

${\gamma }^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t).$

Daher ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs dieser Kurve gleich

$\begin{array}{cc}{\int }_{\gamma }F& ={\int }_0^{2\pi }⟨F(\gamma (t)),{\gamma }^{\prime }(t)⟩dt\\ & ={\int }_0^{2\pi }⟨\left(\begin{array}{c}-\sin t\\ \cos t\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-\sin t\\ \cos t\end{array}\right)⟩dt\\ & ={\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}tdt\\ & ={\int }_0^{2\pi }1dt\\ & =2\pi .\end{array}$