Vektorfeld/(-y,x)/Kreisbewegung/Beispiel

Wir betrachten das Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (-y,x)$

und den Weg

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t).$

Die Ableitung von ${}\gamma$ ist

${}\gamma '(t)=(-\sin t,\cos t)\,.$

Daher ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs dieser Kurve gleich

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{0}^{2\pi }\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{0}^{2\pi }\left\langle {\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt\\&=\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}t+\cos ^{2}tdt\\&=\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=2\pi .\end{aligned}}$