Vektorfeld/Kreis und tangentiale Gerade/Aufgabe/Lösung

1. ${}\,$
2. Es ist

   ${}F(1,0)={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\,,$

   daher ist die konstante Kurve

   ${}\psi (t):={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,$

   eine Lösung der Differentialgleichung.

3. Da das Vektorfeld auf der durch ${}x=1$ gegebenen Geraden tangential zu dieser Geraden ist, erwarten wir eine Lösung auf dieser Geraden. Darauf hat das Vektorfeld die Form

   ${}F(1,y)=y^{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,.$

   Wenn man die Lösung in der Form

   ${}\varphi (t)={\begin{pmatrix}1\\y(t)\end{pmatrix}}\,$

   ansetzt, so muss ${}y(t)$ die eindimensionale Differentialgleichung

   ${}y'(t)=y^{2}(t)\,$

   erfüllen. Nach dem Ansatz mit getrennten Variablen ergibt sich

   ${}y(t)={\frac {-1}{t-1}}\,$

   auf ${}]-\infty ,1[$.

4. Da das Vektorfeld auf dem Einheitskreis tangential zum Einheitskreis ist, erwarten wir eine Lösung auf dem Einheitskreis. Wir machen also den Ansatz

   ${}v(t)={\begin{pmatrix}\cos z(t)\\\sin z(t)\end{pmatrix}}\,$

   mit einer unbekannten als differenzierbar vorausgesetzten Funktion ${}z(t)$. Die Anfangsbedingung

   ${}v(0)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,$

   erfordert (und ist erfüllt durch)

   ${}z(0)={\frac {\pi }{2}}\,.$

   Die Differentialgleichung führt auf

   ${}{\begin{aligned}v(t)'&={\begin{pmatrix}\cos z(t)\\\sin z(t)\end{pmatrix}}'\\&={\begin{pmatrix}-z'(t)\sin z(t)\\z'(t)\cos z(t)\end{pmatrix}}\\&=z'(t){\begin{pmatrix}-\sin z(t)\\\cos z(t)\end{pmatrix}}\\&=F(\cos z(t),\sin z(t))\\&={\left(\cos \left(z(t)\right)-1\right)}{\begin{pmatrix}-\sin z(t)\\\cos z(t)\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

   Wenn also eine Lösung ${}\theta (t)$ der eindimensionalen Differentialgleichung

   ${}z'=\cos \left(z\right)-1\,$

   mit der beschriebenen Anfangsbedingung vorliegt, so ist

   ${}v(t)={\begin{pmatrix}\cos \theta (t)\\\sin \theta (t)\end{pmatrix}}\,$

   eine Lösung des Anfangswertproblemes.

Zur gelösten Aufgabe