Vektorfeld/R^2/Gegenableitungdifferenz/Limesformel/Aufgabe/Lösung

Der Weg ${}\gamma _{\epsilon }$ ist durch

$[0,2\pi ]\longrightarrow U,\,t\longmapsto P+{\begin{pmatrix}\epsilon \cos t\\\epsilon \sin t\end{pmatrix}},$

gegeben. Somit ist

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\int _{\gamma _{\epsilon }}F&={\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\left\langle F{\left(P+\epsilon {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}\right)},\epsilon {\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt\\&={\frac {1}{\epsilon }}\int _{0}^{2\pi }\left\langle F(P)+\epsilon DF_{P}{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}+\Vert {\epsilon {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}}\Vert r{\left(\epsilon {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}\right)},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt\\&={\frac {1}{\epsilon }}\int _{0}^{2\pi }\left\langle F(P),{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt+{\frac {1}{\epsilon }}\int _{0}^{2\pi }\left\langle \epsilon DF_{P}{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt+{\frac {1}{\epsilon }}\int _{0}^{2\pi }\left\langle \Vert {\epsilon {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}}\Vert r{\left(\epsilon {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}\right)},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt\\&={\frac {1}{\epsilon }}\int _{0}^{2\pi }\left\langle F(P),{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt+\int _{0}^{2\pi }\left\langle DF_{P}{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt+\int _{0}^{2\pi }\left\langle r{\left(\epsilon {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}\right)},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt.\end{aligned}}$

Wir analysieren die einzelnen Summanden getrennt. Ganz rechts wird der Integrand für ${}\epsilon \rightarrow 0$ aufgrund der Eigenschaften von ${}r$ und der Stetigkeit des Skalarproduktes beliebig klein, was sich auf das Integral überträgt. Dieser Term spielt also im Limes keine Rolle. Das linke Integral ist

${}\int _{0}^{2\pi }-F_{1}(P)\sin t+F_{2}(P)\cos tdt=0\,,$

so dass alles vom mittleren Summanden abhängt. Der Integrand ist

${}{\begin{aligned}\left\langle DF_{P}{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}(P)\cos t+{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(P)\sin t\\{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(P)\cos t+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}(P)\sin t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}(P)\cos t\sin t-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(P)\sin t\sin t+{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(P)\cos t\cos t+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}(P)\sin t\cos t.\end{aligned}}$

Wegen

${}\int _{0}^{2\pi }\cos t\sin tdt={\frac {1}{2}}{\left(\sin ^{2}t\right)}_{0}^{2\pi }=0\,$

fallen diese Terme weg. Übrig bleiben

${}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(P)\int _{0}^{2\pi }\sin t\sin tdt=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(P){\frac {1}{2}}{\left(x-\sin t\cos t\right)}_{0}^{2\pi }=-\pi {\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(P)\,$

und

${}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(P)\int _{0}^{2\pi }\cos t\cos tdt=\pi {\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(P)\,.$

Alles zusammen ergibt

${}\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\int _{\gamma _{\epsilon }}F=\pi {\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(P)\right)}\,.$

Zur gelösten Aufgabe