Vektorraum/Dachprodukt/Konstruktion/Textabschnitt

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$. Wir konstruieren das sogenannte ${}n$-te Dachprodukt von ${}V$ mit sich selbst, geschrieben ${}\bigwedge ^{n}V$. Dazu betrachten wir die Menge ${}S$ aller Symbole der Form

${(v_{1},\ldots ,v_{n})}{\text{ mit }}v_{i}\in V$

und die zugehörige Menge der ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$. Wir betrachten den Vektorraum

${}H=K^{(S)}\,,$

das ist die Menge aller (endlichen) Summen

$a_{1}e_{s_{1}}+\cdots +a_{k}e_{s_{k}}{\text{ mit }}a_{i}\in K{\text{ und }}s_{i}\in S,$

die ${}e_{s}$ bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes ${}\operatorname {Abb} \,(S,K)$ (es handelt sich bei ${}H$ um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente ${}s\in S$ den Wert ${}0$ haben). In ${}H$ betrachten wir den Untervektorraum ${}U$, der von den folgenden Elementen erzeugt wird (die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$

für beliebige ${}v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n},v,w\in V$.

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},av,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-ae_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$

für beliebige ${}v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n},v\in V$ und ${}a\in K$.

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{j-1},v,v_{j+1},\ldots ,v_{n})}$

für ${}i<j$ und beliebige ${}v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n},v\in V$.

Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Relationen zu ${}0$ macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.

Man setzt nun

${}\bigwedge ^{n}V:=H/U\,,$

d.h. man bildet den Restklassenraum von ${}H$ modulo dem Unterraum ${}U$.