Vektorraum/Dachprodukt/Konstruktion/Textabschnitt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und  $n\in \mathbb{N}$.  Wir konstruieren das sogenannte $n$-te Dachprodukt von $V$ mit sich selbst, geschrieben $\stackrel{n}{\bigwedge }V$. Dazu betrachten wir die Menge $S$ aller Symbole der Form

$(v_1,\dots ,v_n)\text{ mit }{v}_i\in V$

und die zugehörige Menge der $e_{(v_1,\dots ,v_n)}$. Wir betrachten den Vektorraum

$H=K^{(S)},$

das ist die Menge aller (endlichen) Summen

$a_1{e}_{s_1}+\cdots +a_k{e}_{s_k}\text{ mit }{a}_i\in K\text{ und }{s}_i\in S,$

die $e_s$ bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes $\mathrm{Abb}(S,K)$ (es handelt sich bei $H$ um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente  $s\in S$  den Wert $0$ haben). In $H$ betrachten wir den Untervektorraum $U$, der von den folgenden Elementen erzeugt wird (die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).

$e_{(v_1,\dots ,v_{i-1},v+w,v_{i+1},\dots ,v_n)}-e_{(v_1,\dots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\dots ,v_n)}-e_{(v_1,\dots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\dots ,v_n)}$

für beliebige  $v_1,\dots ,v_{i-1},v_{i+1},\dots ,v_n,v,w\in V$. 

$e_{(v_1,\dots ,v_{i-1},av,v_{i+1},\dots ,v_n)}-a{e}_{(v_1,\dots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\dots ,v_n)}$

für beliebige  $v_1,\dots ,v_{i-1},v_{i+1},\dots ,v_n,v\in V$  und  $a\in K$. 

$e_{(v_1,\dots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\dots ,v_{j-1},v,v_{j+1},\dots ,v_n)}$

für  $i<j$  und beliebige  $v_1,\dots ,v_{i-1},v_{i+1},\dots ,,v_{j-1},v_{j+1},\dots ,v_n,v\in V$. 

Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Terme zu $0$ macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.

Man setzt nun

$\stackrel{n}{\bigwedge }V:=H/U,$

d.h. man bildet den Restklassenraum von $H$ modulo dem Unterraum $U$.