Vektorraum/Dualbasis/Basiswechsel/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{n}b_{ij}v_{i}^{*}\right)}(w_{r})&={\left(\sum _{i=1}^{n}b_{ij}v_{i}^{*}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{n}a_{kr}v_{k}\right)}\\&=\sum _{1\leq i,k\leq n}b_{ij}a_{kr}v_{i}^{*}(v_{k})\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}a_{ir}.\end{aligned}}$

Hier steht das „Produkt“ aus der ${}j$-ten Spalte von ${}B$ und der ${}r$-ten Spalte von ${}A$, also das Produkt aus der ${}j$-ten Zeile von ${}{B^{\text{tr}}}=A^{-1}$ und der ${}r$-ten Spalte von ${}A$. Bei ${}r=j$ ist dies ${}1$ und bei ${}r\neq j$ ist dies ${}0$. Daher stimmt die angegebene Linearform mit ${}w_{j}^{*}$ überein.

Zur bewiesenen Aussage