Vektorraum/Dualraum/Dualität/Nicht linear/Aufgabe/Lösung

Es sei  ${}V=\mathbb {R}$  und es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die Identität. Dann wird unter der Auswertungsabbildung

$V\times V^{*}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,f)\longmapsto f(v),$

das Paar ${}(1,g)$ auf ${}1$ abgebildet. Das Paar  ${}2(1,g)=(2,2g)$  wird auf

${}(2g)(2)=4\neq 2\,$

abgebildet, daher ist die Abbildung nicht linear.

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