Vektorraum/Ein Axiom fehlt/Assoziativität/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}K={\mathbb {C} }$ und ${}V=\mathbb {R}$. Wir betrachten die „Skalarmultiplikation“

${\mathbb {C} }\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

die durch

${}(a+b{\mathrm {i} })\bullet u:=au\,$

definiert ist. Um zu zeigen, dass das Assoziativitätsaxiom nicht erfüllt ist, betrachten wir

${}r=s={\mathrm {i} }\,$

und ein beliebiges ${}u\neq 0$. Einerseits ist

${}({\mathrm {i} }\cdot {\mathrm {i} })\bullet u=(-1)\bullet u=-u\,$

und andererseits ist

${}{\mathrm {i} }\bullet ({\mathrm {i} }\bullet u)={\mathrm {i} }\bullet (0)=0\,.$

Die anderen multiplikativen Axiome sind hingegen erfüllt. Es ist

${}{\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} })\bullet (u+v)&=a(u+v)\\&=au+av\\&=(a+b{\mathrm {i} })\bullet u+(a+b{\mathrm {i} })\bullet v\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}(a+b{\mathrm {i} }+c+d{\mathrm {i} })\bullet u&=((a+c)+(b+d){\mathrm {i} })\bullet u\\&=(a+c)u\\&=au+cu\\&=(a+b{\mathrm {i} })\bullet u+(c+d{\mathrm {i} })\bullet u.\end{aligned}}$

Ferner ist

${}1\bullet u=u\,$

für alle ${}u\in \mathbb {R}$.

Zur gelösten Aufgabe