Vektorraum/Ein Axiom fehlt/Distributivität im Körper/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}K=V=\mathbb {R}$ der Körper der reellen Zahlen. Wir betrachten die „Skalarmultiplikation“

K\times K\longrightarrow K,\,(r,u)\longmapsto r\bullet u,

die jedes Paar ${}(r,u)$ auf ${}u$ abbildet, also

{}r\bullet u=u\,.

Dann ist (für ${}u\neq 0$ )

{}(1+1)\bullet u=2\bullet u=u\neq 2u=1\bullet u+1\bullet u\,

und somit ist diese Skalarmultiplikation nicht distributiv in den Skalaren. Alle anderen Vektorraumaxiome sind hingegen erfüllt. Es ist ja

{}{\begin{aligned}r\bullet (s\bullet u)&=r\bullet u\\&=u\\&=(r\cdot s)u\end{aligned}}

und

{}{\begin{aligned}r\bullet (u+v)&=u+v\\&=r\bullet u+r\bullet v.\end{aligned}}

Ferner ist natürlich auch

{}1\bullet u=u\,.