Vektorraum/K/Halbnorm/Raum mit Halbmetrik/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es ist ${}d{\left(u,v\right)}=\Vert {u-v}\Vert \geq 0$.
2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&=\Vert {-1(v-u)}\Vert \\&=\vert {-1}\vert \cdot \Vert {v-u}\Vert \\&=d{\left(v,u\right)}.\end{aligned}}$

3. Für beliebiges ${}w\in V$ ist nach der Definition einer Halbnorm

   ${}{\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&\leq \Vert {u-w}\Vert +\Vert {w-v}\Vert \\&=d{\left(u,w\right)}+d{\left(w,v\right)}.\end{aligned}}$

Zum Nachweis der Stetigkeit der Addition sei ${}(u,v)\in V\times V$ fixiert und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Es sei

${}(u',v')\in U{\left(u,{\frac {\epsilon }{2}}\right)}\times U{\left(v,{\frac {\epsilon }{2}}\right)}\,,$

hierbei ist die Produktmenge links eine offene Umgebung von ${}(u,v)$. Hier gilt

${}{\begin{aligned}\Vert {u'+v'-(u+v)}\Vert &\leq \Vert {u'-u}\Vert +\Vert {v'-v}\Vert \\&<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zum Nachweis der Stetigkeit der Skalarmultiplikation sei ${}(s,v)\in {\mathbb {K} }\times V$ fixiert und ${}\epsilon >0$ vorgegeben, das wir als ${}\leq 1$ annehmen. Es sei ${}D=\Vert {v}\Vert$ und

${}C=\operatorname {max} \left(D,\,\vert {s}\vert \,,1\right)\,.$

Es sei ${}(t,u)\in U{\left(s,{\frac {\epsilon }{4C}}\right)}\times U{\left(v,{\frac {\epsilon }{4C}}\right)}$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\Vert {tu-sv}\Vert &\leq \Vert {tu-su}\Vert +\Vert {su-sv}\Vert \\&=\vert {t-s}\vert \Vert {u}\Vert +\vert {s}\vert \Vert {u-v}\Vert \\&\leq {\frac {\epsilon }{4C}}{\left(C+{\frac {\epsilon }{4C}}\right)}+C{\frac {\epsilon }{4C}}\\&\leq {\frac {\epsilon }{4}}+{\frac {\epsilon }{4}}+{\frac {\epsilon }{4}}\\&<\epsilon .\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage