Vektorraum/K/Halbnorm/Restklassenraum/Fakt/Beweis

Beweis

1. Folgt direkt aus der Verträglichkeit der Halbnorm mit der Skalarmultiplikation und aus der Dreiecksabschätzung.
2. Für ${}z\in Z$ ist

   ${}\Vert {v+z}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {z}\Vert =\Vert {v}\Vert \,$

   und ebenso

   ${}\Vert {v}\Vert \leq \Vert {v+z}\Vert +\Vert {-z}\Vert =\Vert {v+z}\Vert +\Vert {z}\Vert =\Vert {v+z}\Vert \,,$

   also ist

   ${}\Vert {v}\Vert =\Vert {v+z}\Vert \,.$

   Die Halbnorm induziert also eine wohldefinierte Abbildung auf dem Restklassenraum ${}V/Z$. Dabei bleiben alle Eigenschaften einer Halbnorm erhalten. Ferner gilt ${}\Vert {[v]}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v\in Z$ ist, also ${}[v]=0$ in ${}V/Z$. Daher liegt eine Norm vor.

Zur bewiesenen Aussage