Vektorraum/Sortenprädikate/Beispiel

Eine angemessene prädikatenlogische Formulierung für Vektorräume wird neben Variablen durch

$\{0_{K},1,+_{K},\cdot _{K},0_{V},+_{V},\cdot ,K,V\}$

beschrieben, wobei ${}\{0_{K},1,0_{V}\}$ Konstanten, ${}\{+_{K},\cdot _{K},+_{V},\cdot \}$ zweistellige Funktionssymbole und ${}K$ (für Körper) und ${}V$ (für Vektorraum) zwei einstellige Relationssymbole sind, mit denen man den Körper und den Vektorraum erfassen möchte. Die grundlegende Skalarmultiplikation wird durch

$\forall x\forall y{\left(Kx\wedge Vy\rightarrow Vx\cdot y\right)}$

beschrieben, die beiden Distributivgesetze durch

$\forall x\forall y\forall z{\left(Kx\wedge Ky\wedge Vz\rightarrow {\left(x+_{K}y\right)}\cdot z={\left({\left(x\cdot z\right)}+_{V}{\left(y\cdot z\right)}\right)}\right)}$

und

$\forall x\forall y\forall z{\left(Kx\wedge Vy\wedge Vz\rightarrow x\cdot {\left(y+_{V}z\right)}={\left(x\cdot y\right)}+_{V}{\left(x\cdot z\right)}\right)}.$