Verbände/Produkt/Aufgabe/Kommentar

Dies ist eher eine Frage zum Umgang mit Produktmengen als mit Verbänden, bei „jedem“ Konzept fragt man sich, wie sich das bei Produktmengen verhält. Bei Produktmengen sind zwei Spezialfälle besonders wichtig und helfen einem, sich der Sache anzunähern, nämlich das Produkt von zwei Mengen und ein vielfaches Produkt, wo die Faktoren alle gleich sind. Letztere Situation liegt in Aufgabe vor, man kann auch damit starten, das ist vielleicht vertrauter. Dort sind die einzelnen Verbände stets die total geordneten reellen Zahlen.

Wir wissen bereits, dass eine Produktmenge von geordneten Mengen wieder eine geordnete Menge ist, siehe Aufgabe. Ein Element in der Produktmenge hat die Form ${}x_{i}$, ${}i\in I$, jedem ${}i$ aus der Indexmenge wird ein Element ${}x_{i}\in V_{i}$ zugeordnet. Die Ordnungsrelation besagt

${}(x_{i})_{i\in I}\leq (y_{i})_{i\in I}\,$

genau dann, wenn

${}x_{i}\leq _{i}y_{i}\,$

für alle ${}i$ ist. Das einzige, was bei einem Verband hinzukommt, ist die Existenz eines Infimums und eines Supremums. Es muss also ein Infimum von ${}(x_{i})_{i\in I}$ und ${}(y_{i})_{i\in I}$ angegeben werden. Zu jedem einzelnen ${}i$ gibt es das Infimum ${}x_{i}\sqcap y_{i}\in V_{i}$.

Aus diesen bastelt man sich das Infimum der beiden Elemente und muss dann noch die Infimumseigenschaft nachweisen.

Zur kommentierten Aufgabe