Verband/Algebraisch/Ordnung/Fakt/Beweis

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Beweis

Zunächst ist unter Verwendung der beiden Absorptionsgesetze

was die Reflexivität der Relation bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien und gegeben. Das bedeutet und . Damit ist

was bedeutet. Zum Nachweis der Antisymmetrie sei und . Daraus ergibt sich sofort .

Wir zeigen nun, dass das Infimum von und in der soeben etablierten Ordnung ist. Wegen

ist und ebenso , es ist also

Sei nun . Dies bedeutet und . Dann ist

also . Somit ist das Infimum.

Um die Aussage über das Supremum zu beweisen, zeigt man zunächst, dass zu äquivalent ist. Wenn nämlich das erste gilt, so ist

nach einem Absorptionsgesetz. Wenn das zweite gilt, so ist

ebenfalls nach einem Absorptionsgesetz. Damit folgt die Aussage über das Supremum wie die Aussage über das Infimum.