Beweis
Zunächst ist unter Verwendung der beiden Absorptionsgesetze
-
was die Reflexivität der Relation bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien
und
gegeben. Das bedeutet
und
.
Damit ist
was
bedeutet. Zum Nachweis der Antisymmetrie sei
und
.
Daraus ergibt sich sofort
.
Wir zeigen nun, dass das Infimum von
und
in der soeben etablierten Ordnung ist. Wegen
-
ist
und ebenso
,
es ist also
-
Es sei nun
.
Dies bedeutet
und
.
Dann ist
-
also
.
Somit ist das Infimum.
Um die Aussage über das Supremum zu beweisen, zeigt man zunächst, dass
zu
äquivalent ist. Wenn nämlich das erste gilt, so ist
-
nach einem Absorptionsgesetz. Wenn das zweite gilt, so ist
-
ebenfalls nach einem Absorptionsgesetz. Damit folgt die Aussage über das Supremum wie die Aussage über das Infimum.