Verband/Algebraisch/Ordnung/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist unter Verwendung der beiden Absorptionsgesetze

${}x\sqcap x=x\sqcap (x\sqcup (x\sqcap x))=x\,,$

was die Reflexivität der Relation bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien ${}z\geq y$ und ${}y\geq x$ gegeben. Das bedeutet ${}z\sqcap y=y$ und ${}y\sqcap x=x$. Damit ist

${}{\begin{aligned}z\sqcap x&=z\sqcap (y\sqcap x)\\&=(z\sqcap y)\sqcap x\\&=y\sqcap x\\&=x,\end{aligned}}$

was ${}z\geq x$ bedeutet. Zum Nachweis der Antisymmetrie sei ${}y\geq x$ und ${}x\geq y$. Daraus ergibt sich sofort ${}x=x\sqcap y=y$.

Wir zeigen nun, dass ${}x\sqcap y$ das Infimum von ${}x$ und ${}y$ in der soeben etablierten Ordnung ist. Wegen

${}x\sqcap (x\sqcap y)=(x\sqcap x)\sqcap y=x\sqcap y\,$

ist ${}x\geq x\sqcap y$ und ebenso ${}y\geq x\sqcap y$, es ist also

${}x\sqcap y\leq x,y\,.$

Sei nun ${}z\leq x,y$. Dies bedeutet ${}x\sqcap z=z$ und ${}y\sqcap z=z$. Dann ist

${}(x\sqcap y)\sqcap z=x\sqcap (y\sqcap z)=x\sqcap z=z\,,$

also ${}z\leq x\sqcap y$. Somit ist ${}x\sqcap y$ das Infimum.

Um die Aussage über das Supremum zu beweisen, zeigt man zunächst, dass ${}x=x\sqcap y$ zu ${}y=x\sqcup y$ äquivalent ist. Wenn nämlich das erste gilt, so ist

${}x\sqcup y=(x\sqcap y)\sqcup y=y\,$

nach einem Absorptionsgesetz. Wenn das zweite gilt, so ist

${}x\sqcap y=x\sqcap (x\sqcup y)=x\,,$

ebenfalls nach einem Absorptionsgesetz. Damit folgt die Aussage über das Supremum wie die Aussage über das Infimum.

Zur bewiesenen Aussage