Verband/Ordnung/Algebraisch/Fakt/Beweis

Beweis

1. Die Kommutativität ist klar. Zum Nachweis der Assoziativität seien ${}x,y,z$ gegeben. Wir vergleichen ${}(x\sqcup y)\sqcup z$ und ${}x\sqcup (y\sqcup z)$. Es ist

   ${}x,y\leq x\sqcup y\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,$

   und ebenso

   ${}z\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.$

   Damit ist also

   ${}x,y,z\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.$

   Da ${}y\sqcup z$ das Supremum von ${}y$ und ${}z$ ist, folgt

   ${}y\sqcup z\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.$

   Daher ist auch

   ${}x\sqcup (y\sqcup z)\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.$

   Die andere Abschätzung gilt genauso, aus der Antisymmetrie der Ordnung folgt somit die Gleichheit. Die Assoziativität für das Infimum wird entsprechend bewiesen.

2. Es ist direkt

   ${}x\leq x\sqcup (x\sqcap y)\,.$

   Ferner ist

   ${}x\sqcap y\leq x\,$

   und somit ist ${}x$ eine obere Schranke von ${}x$ und von ${}x\sqcap y$ und daher ist

   ${}x\sqcup (x\sqcap y)\leq x\,.$

   Aus der Antisymmetrie folgt

   ${}x=x\sqcup (x\sqcap y)\,.$

3. Wird wie (2) bewiesen.

Zur bewiesenen Aussage