Verband/Ordnung/Algebraisch/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Die Kommutativität ist klar. Zum Nachweis der Assoziativität seien gegeben. Wir vergleichen und . Es ist

    und ebenso

    Damit ist also

    Da das Supremum von und ist, folgt

    Daher ist auch

    Die andere Abschätzung gilt genauso, aus der Antisymmetrie der Ordnung folgt somit die Gleichheit. Die Assoziativität für das Infimum wird entsprechend bewiesen.

  2. Es ist direkt

    Ferner ist

    und somit ist eine obere Schranke von und von und daher ist

    Aus der Antisymmetrie folgt

  3. Wird wie (2) bewiesen.