Verband/Ordnungstheoretisch/Assoziativ/Aufgabe/Lösung

Zum Nachweis der Assoziativität seien $x,y,z$ gegeben. Wir vergleichen $(x\bigsqcup y)\bigsqcup z$ und $x\bigsqcup (y\bigsqcup z)$. Es ist

$x,y\le x\bigsqcup y\le (x\bigsqcup y)\bigsqcup z$

und ebenso

$z\le (x\bigsqcup y)\bigsqcup z.$

Damit ist also

$x,y,z\le (x\bigsqcup y)\bigsqcup z.$

Da $y\bigsqcup z$ das Supremum von $y$ und $z$ ist, folgt

$y\bigsqcup z\le (x\bigsqcup y)\bigsqcup z.$

Daher ist auch

$x\bigsqcup (y\bigsqcup z)\le (x\bigsqcup y)\bigsqcup z.$

Die andere Abschätzung gilt genauso, aus der Antisymmetrie der Ordnung folgt somit die Gleichheit.

Zur gelösten Aufgabe