Verband/Ordnungstheoretisch/Assoziativ/Aufgabe/Lösung

Zum Nachweis der Assoziativität seien ${}x,y,z$ gegeben. Wir vergleichen ${}(x\sqcup y)\sqcup z$ und ${}x\sqcup (y\sqcup z)$. Es ist

${}x,y\leq x\sqcup y\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,$

und ebenso

${}z\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.$

Damit ist also

${}x,y,z\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.$

Da ${}y\sqcup z$ das Supremum von ${}y$ und ${}z$ ist, folgt

${}y\sqcup z\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.$

Daher ist auch

${}x\sqcup (y\sqcup z)\leq (x\sqcup y)\sqcup z\,.$

Die andere Abschätzung gilt genauso, aus der Antisymmetrie der Ordnung folgt somit die Gleichheit.

Zur gelösten Aufgabe