Vereinigung/Abziehregel/Aufgabe/Kommentar

Dies ist eine offen formulierte Fragestellung. Die Aussage "Die Abziehregel gilt." ist also entweder zu beweisen oder zu widerlegen.

Da es eine Aussage über alle Mengen ist, muss man, um die Aussage zu beweisen, für beliebige Mengen ${}A,B$ und ${}C$ die Behauptung ${}A\cup C=B\cup C$ impliziert ${}A=B$ zeigen. Um die Aussage zu widerlegen genügt allerdings ein einziges Gegenbeispiel, also drei Mengen anzugeben, die diese Behauptung nicht erfüllen.

Es scheint also so, als ob es viel einfacher ist eine solche Allgemeinaussage zu widerlegen und in gewisser Hinsicht ist das auch oft so. Allerdings wird uns ein Gegenbeispiel meist nicht einfach geschenkt und oft genug führen die gleichen Überlegungen die zu einem Beweis der Aussage führen würden erst zu einem Gegenbeispiel, weil uns daran klar wird wo der Beweis schief laufen würde. Umgekehrt kann ein mehr oder weniger freies Herumprobieren mit Beispielen, mit dem Ziel ein Gegenbeispiel zu finden, auch die Struktur des Phänomens klarer machen und stattdessen die entscheidende Idee für einen Beweis der Aussage liefern.

Es ist also sinnvoll Aussagen immer wieder von verschiedenen Seiten und Gesichtspunkten anzugehen bis sie sich uns erschließen.