Vergleich/3 hoch Quadratwurzel 7/Ganzzahlig/Aufgabe/Lösung

1. Die angegebenen Abschätzungen kann man durch Quadrieren überprüfen. Wegen

   ${}{\left({\frac {5}{2}}\right)}^{2}={\frac {25}{4}}\leq {\frac {28}{4}}=7={\frac {63}{9}}\leq {\frac {64}{9}}={\left({\frac {8}{3}}\right)}^{2}\,$

   ist dies richtig.

2. Nach Teil (1) ist

   ${}{\frac {5}{2}}\leq {\sqrt {7}}\,$

   und damit ist

   ${}3^{\frac {5}{2}}\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$

   Wegen

   ${}15^{2}=225\leq 243=3^{5}\,$

   ist

   ${}15\leq 3^{\frac {5}{2}}\,$

   und damit

   ${}15\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$

   Nach Teil (1) ist

   ${}{\sqrt {7}}\leq {\frac {8}{3}}\,$

   und damit ist

   ${}3^{\sqrt {7}}\leq 3^{\frac {8}{3}}\,.$

   Wegen

   ${}3^{8}=6561\leq 6859=19^{3}\,$

   ist

   ${}3^{\frac {8}{3}}\leq 19\,$

   und damit

   ${}3^{\sqrt {7}}\leq 19\,.$

3. Zunächst ist

   ${}{\frac {13}{5}}\leq {\sqrt {7}}\,,$

   da

   ${}{\left({\frac {13}{5}}\right)}^{2}={\frac {169}{25}}\leq {\frac {175}{25}}=7\,$

   ist. Somit gilt

   ${}3^{\frac {13}{5}}\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$

   Wegen

   ${}17^{5}=1419857\leq 1594323=81\cdot 81\cdot 81\cdot 3=3^{13}\,$

   ist

   ${}17\leq 3^{\frac {5}{13}}\,$

   und damit auch

   ${}17\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe