Verknüpfung/Rechenoperation/Einführung/Textabschnitt

Die Rechenoperationen Addition und Multiplikation innerhalb der reellen Zahlen fassen wir als eine Abbildung

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

auf, d.h. es wird dem Paar

${}(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,$

die reelle Zahl ${}x+y$ (bzw. $x\cdot y$) zugeordnet. Eine solche Abbildung heißt eine Verknüpfung.

Definition

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$

Der Definitionsbereich ist also die Produktmenge von ${}M$ mit sich selbst und der Wertebereich ist ebenfalls ${}M$. Addition, Multiplikation und Subtraktion (auf ${}\mathbb {Z}$, auf ${}\mathbb {Q}$ oder auf ${}\mathbb {R}$) sind Verknüpfungen. Auf ${}\mathbb {Q}$ und ${}\mathbb {R}$ ist die Division keine Verknüpfung, da sie nicht definiert ist, wenn die zweite Komponente gleich ${}0$ ist (und schon gar nicht auf ${}\mathbb {Z}$). Allerdings ist die Division eine Verknüpfung auf ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$.