Verschiedene Abstände/(3 durch 4,-1) und (2,1 durch 5)/Aufgabe/Lösung

Die Abstände der einzelnen Koordinaten sind

$2-\frac{3}{4}=\frac{8-3}{4}=\frac{5}{4}$

und

$\frac{1}{5}-(-1)=\frac{1+5}{5}=\frac{6}{5}.$

a) Der euklidische Abstand ist somit

$\sqrt{{\left(\frac{5}{4}\right)}^2+{\left(\frac{6}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{16}+\frac{36}{25}}=\sqrt{\frac{625+576}{400}}=\sqrt{\frac{1201}{400}}=\frac{\sqrt{1201}}{20}.$

b) In der Summenmetrik ist der Abstand

$\frac{5}{4}+\frac{6}{5}=\frac{25+24}{20}=\frac{49}{20}.$

c) Es ist

$\frac{5}{4}=\frac{25}{20}>\frac{24}{20}=\frac{6}{5},$

daher ist der Abstand in der Maximumsmetrik gleich $\frac{5}{4}$.

d) Wir behaupten, dass der Maximumsabstand kleiner als der euklidische Abstand und dass dieser kleiner als der Summenabstand ist. Um dies zu sehen, bringt man die drei Zahlen auf den Hauptnenner $20$ und muss dann für die Zähler

$25<\sqrt{1201}<49$

zeigen. Wegen  $25^2=625<1201$  und  $49^2>40^2=1600>1201$ 

ist das klar.

Zur gelösten Aufgabe