Vier ungerade Zahlen/Summe/Teilbarkeit/Aufgabe/Lösung

Eine ungerade natürliche Zahl besitzt die Form ${}2n+1$ mit einer natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$. Vier aufeinanderfolgende Zahlen sind damit ${}2n+1,2n+3,2n+5,2n+7$.

1. Induktionsbeweis: Für ${}n=0$ geht es um

   ${}1+3+5+7=16=2\cdot 8\,,$

   was durch ${}8$ teilbar ist. Es sei nun die Vierersumme der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beginnend mit ${}2n+1$ ein Vielfaches der ${}8$. Es ist zu zeigen, dass dies auch für die Vierersumme der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beginnend mit ${}2(n+1)+1=2n+3$ gilt. Es ist

   ${}{\begin{aligned}(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)+(2n+9)&=(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)+(2n+1)+8\\&=(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)+8\\&=8k+8\\&=8(k+1),\end{aligned}}$

   sodass diese Zahl wieder ein Vielfaches der ${}8$ ist.

2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)&=2n+2n+2n+2n+1+3+5+7\\&=8n+16\\&=8(n+2),\end{aligned}}$

   sodass ein Vielfaches der ${}8$ vorliegt.

Zur gelösten Aufgabe