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Vierertupel/Differenzbetrag/Abstieg/Aufgabe/Lösung

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Es sei das Maximum der beteiligten vier Zahlen . Wir zeigen, dass dieses Maximum nach endlich vielen Iterationen kleiner wird. Da wir uns innerhalb der natürlichen Zahlen befinden, folgt daraus, dass das Maximum irgendwann wird, was bedeutet, dass dann alle vier Zahlen sind. Da alle Zahlen aus sind und die nichtnegative Differenz genommen wird, wird das Maximum definitiv nicht größer bei einer Iteration. Allerdings kann das Maximum gleich bleiben. Dies kann aber nur dann sein, wenn ein Nachbar (zyklisch gedacht, die vierte Zahl ist also auch ein Nachbar der ersten Zahl) des Maximums gleich ist. Wir müssen (durch zyklisches Vertauschen und Spiegeln) nur noch die Situation anschauen, wo das Tupel die Form

mit hat. Wenn ist, so liefert die Abbildung

Wir müssen also nur noch die Situation anschauen, wo es höchstens zwei Nullen gibt. Bei

mit ergibt sich im nächsten Schritt

was keine Nullen mehr hat. Bei

mit ergibt sich im nächsten Schritt

Bei besitzt dies nur eine Null, bei sind wir in einem schon behandelten Fall. Es sei das Tupel jetzt

mit

Das Ergebnis ist

Bei ist dies

mit dem Folgetupel

Bei besitzt dies ein kleineres Maximum, bei ist das Folgetupel gleich

und davon ist das Folgetupel

Es sei also . Das Folgetupel ist bei gleich

und dessen Folgetupel ist

Allenfalls in der dritten Position könnte eine stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von , sodass das Folgetupel keine Null besitzt.


Das Folgetupel ist bei gleich

und dabei ist wieder allenfalls in der dritten Position eine , stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von , sodass das Folgetupel keine Null besitzt.