Vierte Potenzen/Kehrwerte/Summe/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}B_{4}(t)=t^{4}-2t^{3}+t^{2}-{\frac {1}{30}}\,$

und mit Fakt für ${}k=2$ ist

${}B_{4}(t)=2\cdot (-1)^{1}{\frac {(4)!}{(2\pi )^{4}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{4}}}\,.$

Wegen

${}B_{4}(0)=B_{4}(1)=-{\frac {1}{30}}\,$

liegt auch punktweise Konvergenz der Fourierreihe vor. Für ${}t=1$ ergibt dies

${}-{\frac {1}{30}}=-3{\frac {1}{\pi ^{4}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}\,,$

also

${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe