Vorgänger/2a von a/Induktion/Aufgabe/Lösung

Der Induktionsanfang für ${}a=0$ ist klar, da die ${}0$ -te Iteration einer bijektiven Abbildung als Identität zu verstehen ist. Somit ist

{}V^{0}(0)=0=-0\,.

Sie die Aussage nun für ${}a$ schon bewiesen. Dann ergibt sich die Aussage für ${}a+1$ aus

{}{\begin{aligned}V^{2(a+1)}(a+1)&=V^{2a+2}(a+1)\\&={\left(V\circ V^{2a}\circ V\right)}(a+1)\\&={\left(V\circ V^{2a}\right)}(V(a+1))\\&={\left(V\circ V^{2a}\right)}(a)\\&=V{\left(V^{2a}(a)\right)}\\&=V(-a)\\&=-a-1.\end{aligned}}