Vorkurs Mathematik PH Ludwigsburg 2012/13

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Vorkurs Mathematik PH Ludwigsburg 2012/13


Montag: Gleichungen[Bearbeiten]

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/primzahlen.htm#1

Dienstag: Argumentieren und Beweisen http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Schulmathematik:_Mathematik_f%C3%BCr_die_Grundschule#Kommutativgesetz Hier sind wichtige Rechengesetze dargestellt

Grafische Darstellung von Binomischen Formeln http://www.mathematische-basteleien.de/binomi.htm Warum - x - = + ist : -->

http://www.wdr5.de/sendungen/leonardo/s/d/04.11.2010-16.05/b/die-kleine-anfrage- warum-ergibt-minus-mal-minus-eigentlich-plus.html


Warum 0,9 Periode = 1 ist

--> Darum : 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 ( 1/3 = 0,3 Periode) Logisch ne?? ;)

Die Vorlesung nochmal zum anschauen. https://moodle.ph-ludwigsburg.de/mod/resource/view.php?id=7779

Warum ist √2 irrational?

Dafür zur Einführung ein kleines Video:

http://www.youtube.com/watch?v=vnMrUAvKtAg&list=SP66C2590FE48CDCF2&index=3&feature=plcp

Beweis, daß √2 irrational ist:

Der folgende Beweis war bereits in der Antike bekannt. Er wurde von Euklid (genauer: Euklides von Alexandria) überliefert. Er wird indirekt geführt, d.h. wir nehmen zunächst versuchsweise an, sein Gegenteil sei wahr.

Angenommen also, √2 ist eine rationale Zahl. Dann läßt sie sich als Bruchzahl der Form √2 = m n

(1) schreiben, wobei m und n natürliche Zahlen sind. Wir nehmen an, daß dieser Bruch bereits vollständig gekürzt worden ist, sodaß m und n teilerfremd sind (d.h. keinen gemeinsamen Teiler haben). Insbesondere können dann m und n nicht beide gerade Zahlen sein.

Da das Quadrat von √2 gleich 2 ist, folgt aus (1) 2 = m2 n2 , (2) d.h. m2 ist doppelt so groß wie n2. Das können wir auch als 2 n2 = m2 (3) schreiben. Daraus folgt, daß m2 von 2 geteilt wird, also eine gerade Zahl ist. Folglich ist auch m eine gerade Zahl (denn das Quadrat einer geraden Zahl ist gerade, das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade).

Der springende Punkt ist nun, daß m2 nicht nur gerade ist, sondern sogar 4 als Teiler besitzt: Da m gerade ist, läßt es sich als m = 2 k (4) schreiben, wobei k eine natürliche Zahl ist. Folglich ist m2 = 4 k2. (5) In (3) eingesetzt, ergibt sich 2 n2 = 4 k2, (6) woraus wir schließen, daß n2 doppelt so groß ist wie k2 (in Formeln: n2 = 2 k2). Das zeigt, daß n2 eine gerade Zahl ist, und daher auch n.

Insgesamt haben wir gefolgert, daß sowohl n als auch m gerade Zahlen sind, und das widerspricht der oben gemachten Beobachtung, daß das nicht der Fall ist.

Wir haben also aus der Annahme, √2 sei rational, einen (logischen) Widerspruch konstruiert, womit bewiesen ist:

√2 läßt sich nicht als Bruchzahl der Form (1) schreiben, ist daher eine irrationale Zahl.


Bemerkung:

√2 ist gerade die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats (nach dem Satz von Pythagoras: 12 + 12 = Diagonale2 ). Die Irrationalität von √2 zeigt, daß das Verhältnis Diagonale/Seitenlänge im Quadrat nicht rational ist, d.h. daß bereits die einfachsten geometrischen Figuren nicht durch "Aneinanderlegen" von Kopien einer "kleinsten Elementarlänge" zu konstruieren sind. Diese Erkenntnis hat vermutlich im fünften vorchristlichen Jahrhundert eine der ersten Grundlagenkrisen der Mathematik ausgelöst.

aus: http://www.mathe-online.at/mathint/zahlen/i_sqrt2.html

Hier ein paar Blätter zum Üben von Zuhause aus :) https://moodle.ph-ludwigsburg.de/mod/resource/view.php?id=7780

rechenarten leicht erklärt :) http://www.youtube.com/watch?v=Grx08OMT-qY


PRIMZAHLEN[Bearbeiten]

Primzahlenaufzählung:[Bearbeiten]

Homepage die alle Primzahlen ablaufen lässt. Schöne Seite für Leute, die es interessiert dass 1777 eine Primzahl ist. Primzahlenliste

Primzahlenlied:[Bearbeiten]

Ein Lied für eher jüngere Schüler und geeignet für die Grundschule, um das Interesse an der Mathematik oder an Primzahlen zu wecken. Primzahlenlied

Faltbuch Primzahlen für unterwegs


Kreiszahl π[Bearbeiten]

Donnerstag 04.10.12 Einführung der Kreiszahl pi

In der 8. Jahrgangsstufe wird die Kreiszahl pi laut dem Bildungsplan eingeführt.

http://www.bildung-staerkt-menschen.de/service/downloads/Bildungsplaene/Werkrealschule/Bildungsplan2012_WRS_Internet.pdf

das wird auch durch folgenden link belegt:

http://books.google.de/books?id=-CTGknBmhvMC&pg=PA3&lpg=PA3&dq=lehrplan+zahl+pi&source=bl&ots=a5zNjBjn6m&sig=TYT7CqD2aiUEy_CJUyW6dRrZY1c&hl=de&sa=X&ei=p4VtUP3AKYHm4QSi0IGAAg&ved=0CEgQ6AEwBw#v=onepage&q=lehrplan%20zahl%20pi&f=false

Einführung der Kreiszahl Pi

Veranschaulichung der Unendlichkeit der Nachkommastellen der Zahl Pi.(Besser als nur mit Worten die Zahl zu beschreiben) http://www.pibel.de/

Anwendungsbereich Pi

Berechnung des Kreisumfangs

pi x d = U

Merksatz dazu: Pi mal Daumen (http://image.spreadshirt.net/image-server/v1/designs/4652004,height%3D150,width%3D150,pi-mal-daumen.png) Begründung: Alltagsbezug zu Pi in der Sprache, Formeln lassen sich dank Eselsbrücken viel leichter merken :)

Allgemeine Erklärung mit Beispiel am Fahrradreifen http://www.madeasy.de/2/pi.htm Man kann sich dieses Beispiel sehr gut vorstellen oder sogar live im Unterricht vorführen.



Kreiszahl π Gruppe Fenster[Bearbeiten]

Donnerstag 04.10.12 - Einführung der Kreiszahl pi (π)

In der 8. Jahrgangsstufe wird die Kreiszahl pi (π) laut dem Bildungsplan eingeführt.

Die SchülerInnen können mithilfe dieses Arbeitsblattes die Kreiszahl Pi selbständig experimentell entdecken und den Zusammenhang zur Kreisformel herstellen.

http://books.google.de/books?id=-CTGknBmhvMC&printsec=frontcover&hl=de&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false


Unterrichtmaterial: kurzes Video um die Aufmerksamkeit der Schüler zu gewinnen: http://www.youtube.com/watch?v=27OQfd_Sq4c

Allgemeine Links:

http://www.bildung-staerkt-menschen.de/service/downloads/Bildungsplaene/Werkrealschule/Bildungsplan2012_WRS_Internet.pdf

http://www.schule-bw.de/schularten/sonderschulen/kooperation/clema06/Unterrichtkanngelingen.pdf


Hier können Schüler ihr Wissen selbst abfragen: http://www.abfrager.de/realschule/klasse10/mathematik/koerper.htm


Einführung von √2 in der Schule[Bearbeiten]

√2 wird in Klassenstufe 9 eingeführt, im 12-jährigen Gymnasium allerdings schon in Klassenstufe 8.

Materialien dazu:

http://www.gym-oberasbach.de/fileadmin/upload/mathematik/pdf/GrundwissenM09.pdf

Grundwissen Mathematik 9. Klasse

http://www.casio-schulrechner.de/de/lehrerspezial7/zahlzumstaunen/

(Nicht ganz ernst zu nehmende) Fakten über die Wurzel:

http://www.stupidedia.org/stupi/Wurzel


http://www.stauff.de/matgesch/dateien/wurzelbeweis/dateien/folgerungen_rechts.htm


Einführung der Wurzel in das Schulsystem

Die Wurzel wird das Erste mal in der Jahrgangsstufe 8 beigebracht und in den Matheunterricht einbezogen.

siehe: http://www.saarland.de/dokumente/thema_bildung/MA_8_2011.pdf (S.7)

http://www.suenkel-online.de/Bilder/Pi_Mathe_Bio_Wurzel.jpg


Freitag 05.10.2012 - Wahrscheinlichkeit[Bearbeiten]

'Wahrscheinlichkeit - was ist das überhaupt?
Wenn ihr euch nicht mehr sicher seid, was Wahrscheinlichkeit ist, dann schaut doch einfach mal auf dieser Seite: http://www.mathe1.de/mathematikbuch/wahrscheinlichkeit_wahrscheinlichkeitsrechnung_187.htm

Um die Wahrscheinlichkeit genauer berechnen zu können, hat Kolmogorov die Axiome 1933 publiziert.

Links dazu: http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/wkeit/kolmogorow/axiome_von_kolmogorow.php

           http://www.mwclearning.com/wp-content/uploads/2011/04/conditionalProb.png

Wahrscheinlichkeitsrechnung[Bearbeiten]

Kolmogorov-Axiome[Bearbeiten]

1933 hat der russische Mathematiker Kolmogorow gezeigt, dass drei Axiome genügen, auf denen die Wahrscheinlichkeitsrechnung aufgebaut werden kann.


1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist eine reelle Zahl zwischen 0 und 1:

Bsp.: Die Wahrscheinlichkeit eine 3 beim Würfeln mit einem Würfel zu bekommen beträgt 1/6. Denn insgesamt gibt es 6 mögliche Ereignisse (Ergebnisse), 1 oder 2 oder 3 oder...., aber nur ein Ereignis (Möglichkeit) von den 6 die 3 zu würfeln.


2. Wenn ein Ereignis A sicher ist, hat es die Wahrscheinlichkeit 1:

Bsp.: Wenn bei einem Würfel auf allen Seiten eine 6 steht, ist die Wahrscheinlichtkeit eine 6 zu würfeln 1.


3. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mehrerer zusammengeschlossener Ereignisse eintrifft, entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse:

Bsp.: Die Wahrscheinlichkeit, eine 3 oder 5 zu würfeln, beträgt 1/3. Man addiert die Wahscheinlichkeit von "3", also 1/6 und "5", auch 1/6 und erhält somit 2/6.


Die drei Axiome sind auf folgender Website übersichtlich dargestellt

http://web.neuestatistik.de/demo/Demo_DE/MOD_97823/html/comp_98155.html

Aus den Axiomen ergeben sich unmittelbar einige Folgerungen:

- Aus der Additivität der Wahrscheinlichkeit disjunkter Ereignisse folgt dass komplementäre Ereignisse komplementäre Wahrscheinlichkeiten haben: P (Ω\ A ) = 1- P ( A ).

- Daraus folgt unmittelbar dass das unmögliches Ereignis die leere Menge die Wahrscheinlichkeit Null hat: P ({})=0.

siehe: http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Kolmogorov-Axiome.html#Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik


Beweise für das Modell von Kolmogorov: http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/wkeit/kolmogorow/axiome_von_kolmogorow.php

Formeln, Regeln, Sätze, Beispiele[Bearbeiten]

http://www.schulminator.com/mathematik/wahrscheinlichkeiten#wahr_formeln


Pfadregeln

1. Pfadregel: In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades.

2. Pfadregel: In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der für dieses Ereignis zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten.

Merke: In einem Baumdiagramm führt jeder Pfad zu einem Ergebnis des Zufallsversuches. Die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ergebnisses ergibt sich durch Multiplizieren aller Zweigwahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.


Beispiel: Urnenmodell ohne zurücklegen

http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/designer/des_096.gif


Vor allem in der Grundschule ist eine anschauliche, vereinfachte Darstellung der Wahrscheinlichkeitstheorie wichtig ( nach dem Urnenmodell: Korb mit bunten Kugeln, Süßigkeiten etc. zum selber ausprobieren). Folgendes Video veranschautlicht dieses in Kombination mit dem Baumdiagramm :

http://www.youtube.com/watch?v=J21CGieay3I


Zur Vorlesung über Wahrscheinlichkeitsrechnung am 5.10.2012 zwei anschauliche Links zur Wiederholung:

- Das Zufallsexperiment "Würfeln mit zwei Würfeln": http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/zufall/fortbildung/dazumat/zweiwuerfel.pdf

- Das Zufallsexperiment "Ziehen mit Zurücklegen": http://www.ingo-bartling.de/mathe/klasse12/html/stochastik/wahrscheinlichkeit.html

- Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Baumdiagramme: http://www.psiquadrat.de/downloads/grundlagen-Baumdiagramme.pdf


Übungen zu Charakterisieren von Zufallsexperimenten, mit ihren Ergebnissen und der Ereignismenge: http://web.neuestatistik.de/demo/Demo_DE/MOD_97823/html/comp_97855.html#comp_97861