Würfelgruppe/Untergruppe, eine Raumdiagonale fest/S3/Beispiel

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Wir betrachten die Gruppe der eigentlichen Bewegungen an einem Würfel. Für eine fixierte Raumdiagonale betrachten wir die Untergruppe derjenigen Bewegungen, die diese Raumdiagonale in sich überführen. Das sind einerseits die drei Drehungen um diese Achse um Grad, andererseits aber auch die drei Halbdrehungen um diejenigen Kantenmittelpunktsachsen, deren Kanten nicht an den Ecken von anliegen. Diese drei Halbdrehungen führen ebenfalls in sich über, wobei allerdings die Eckpunkte vertauscht werden.

Es seien und die drei anderen Raumdiagonalachsen. Dann definiert jede Bewegung aus eine Permutation der Menge . Die beiden Dritteldrehungen definieren dabei die beiden Zykel und , und die drei Halbdrehungen definieren jeweils eine Transposition. Damit ist isomorph zu und somit ist eine Untergruppe der Würfelgruppe.