Widerspruchsbeweis/Einwand/Aufgabe/Kommentar
Die Aufgabe ist provokativ formuliert. Es geht jetzt darum sich genau klar zu machen wie der Beweis durch Widerspruch funktioniert.
Zur Erinnerung: Wir nehmen an, dass eine Aussage nicht gilt. Wir argumentieren mit unter Zuhilfenahme beliebiger bekannter mathematischer Gesetzmäßigkeiten. Wenn wir dadurch einen Widerspruch herleiten können, dann muss gelten.
Es gibt zwei Arten wie man sich vorstellen könnte damit Alles herleiten zu können.
Nehmen wir zunächst das Gegenteil einer beliebigen Aussage an. Wenn wahr ist, dann spricht das nicht gegen das Beweisprinzip wenn wir einen Widerspruch zu finden. Wenn aber falsch ist, dann nehmen wir mit eine wahre Aussage an. Offensichtlich können wir so dann keinen Widerspruch erzeugen.
Nehmen wir nun eine Aussage an die an sich widersprüchlich ist weil sie aus zwei Teilaussagen besteht die sich widersprechen. Dann haben wir natürlich direkt einen Widerspruch gefunden - nach dem Beweisprinzip muss also das Gegenteil gelten. Das heißt logisch aber nicht, dass das Gegenteil beider Teilaussagen wahr sein muss, sondern dass nicht beide gleichzeitig wahr sein können. Das heißt also, dass das Gegenteil einer der beiden Aussagen wahr sein muss - mit diesem Beweisversuch konnten wir aber nicht feststellen auf welche davon das zutrifft.
Wir sehen, dass wir keine falschen Aussagen durch den Beweis durch Widerspruch zeigen können.
