Wikiversity:Zufallsauswahl

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So wird es geschrieben
{{Zufallsauswahl|INHALT={{Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Definitionsliste}}}}
So sieht es aus
Definition:Monoid Ein Monoid ist eine Menge ${}M$ zusammen mit einer Verknüpfung $\circ \colon M\times M\longrightarrow M$ und einem ausgezeichneten Element ${}e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt ${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$ für alle ${}x,y,z\in M$. ${}e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt ${}x\circ e=x=e\circ x\,$ für alle ${}x\in M$.   Definition:Gruppe Ein Monoid ${}(G,e,\circ )$ heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in G$ ein ${}y\in G$ mit ${}x\circ y=e=y\circ x$ gibt.   Definition:Kommutative Gruppe Eine Gruppe ${}(G,e,\circ )$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also ${}x\circ y=y\circ x$ für alle ${}x,y\in G$ gilt.   Definition:Zyklische Gruppe Eine Gruppe ${}G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.   Definition:Ring Ein Ring ${}R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind: ${}(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe. ${}(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid. Es gelten die Distributivgesetze, also ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle ${}a,b,c\in R$.   Definition:Kommutativer Ring Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.   Definition:Teilen (kommutativer Ring) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, und ${}a,b$ Elemente in ${}R$. Man sagt, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es ein ${}c\in R$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$.   Definition:Einheit Ein Element ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit ${}uv=1$ gibt.   Definition:Assoziiert Zwei Elemente ${}a$ und ${}b$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit ${}u\in R$ derart gibt, dass ${}a=ub$ ist.   Definition:Irreduzibel Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung ${}p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.   Definition:Primelement Eine Nichteinheit ${}p\neq 0$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$, so teilt ${}p$ einen der Faktoren.   Definition:Integritätsbereich Ein kommutativer, nullteilerfreier, von ${}0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.   Definition:Körper Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt Körper, wenn ${}R\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.   Definition:Ideal Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: ${}0\in {\mathfrak {a}}$. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.   Definition:Erzeugtes Ideal Zu einer Familie von Elementen ${}a_{j}\in R$, ${}j\in J$, in einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet ${}(a_{j}:j\in J)$ das von den ${}a_{j}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen $\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$ wobei ${}J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und ${}r_{j}\in R$ ist.   Definition:Hauptideal Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form ${}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$ heißt Hauptideal.   Definition:Hauptidealbereich Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.   Definition:Gemeinsamer Teiler Sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$. Dann heißt ein Element ${}t\in R$ gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt (${}i=1,\ldots ,k$). Ein Element ${}g\in R$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler ${}t$ dieses ${}g$ teilt. Die Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn ${}1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.   Definition:Euklidischer Bereich Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich ${}R$, für den eine Abbildung ${}\delta \colon R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt: Für Elemente ${}a,b$ mit ${}b\neq 0$ gibt es ${}q,r\in R$ mit $a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).$   Definition:Euklidische Restfolge Seien Elemente ${}a,b$ (mit $b\neq 0$) eines euklidischen Bereichs ${}R$ mit euklidischer Funktion ${}\delta$ gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen ${}r_{0}=a$ und ${}r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest ${}r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$ rekursiv bestimmte Folge ${}r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.   Definition:Faktorieller Bereich Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind. Jedes irreduzible Element in ${}R$ ist prim. Jedes Element ${}a\in R$, ${}a\neq 0$, ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.   Definition:Eulersche ${}\varphi$-Funktion Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet ${}{\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$. Man nennt ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion.   Definition:Endlicher Körper Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.   Definition:Produktring Es seien ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt $R_{1}\times \cdots \times R_{n},$ versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der ${}R_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.   Definition:Exponent einer Gruppe Der Exponent ${}\exp {\left(G\right)}$ einer endlichen Gruppe ${}G$ ist die kleinste positive Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft, dass ${}x^{n}=1$ für alle ${}x\in G$ ist.   Definition:Primitive Einheit Eine Einheit ${}u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.   Definition:Quadratischer Rest Eine ganze Zahl ${}k$ heißt quadratischer Rest modulo ${}n$, wenn es eine Zahl ${}x$ mit ${}x^{2}=k\mod n\,$ gibt. Im anderen Fall heißt ${}k$ ein nichtquadratischer Rest modulo ${}n$.   Definition:Legendre-Symbol Für eine ungerade Primzahl ${}p$ und eine zu ${}p$ teilerfremde Zahl ${}k\in \mathbb {Z}$ definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben ${}\left({\frac {k}{p}}\right)$ (sprich „${}k$ nach ${}p$“), durch $\left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,$   Definition:Jacobi-Symbol Für eine ungerade Zahl ${}n$ und eine ganze Zahl ${}k$ definiert man das Jacobi-Symbol, geschrieben ${}\left({\frac {k}{n}}\right)$ (${}k$ nach ${}n$), wie folgt. Es sei ${}n=p_{1}\cdots p_{r}$ die Primfaktorzerlegung von ${}n$. Dann setzt man ${}\left({\frac {k}{n}}\right):=\left({\frac {k}{p_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {k}{p_{r}}}\right)\,.$   Definition:Pythagoreisches Tripel Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}$ der diophantischen Gleichung ${}x^{2}+y^{2}=z^{2}\,.$ Es heißt primitiv, wenn ${}x,y,z$ keinen gemeinsamen Teiler besitzen.   Definition:Die Riemannsche Zetafunktion Die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion ist für ${}s\in \mathbb {C}$ mit Realteil ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch ${}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$ definiert.   Definition:Primzahlfunktion Die für ${}x\in \mathbb {R}$ definierte Funktion $x\longmapsto \pi (x):={\#\left({\left\{p\leq x\mid p{\text{ Primzahl}}\right\}}\right)}$ heißt Primzahlfunktion.   Definition:Erste Tschebyschow-Funktion Die erste Tschebyschow-Funktion ${}\vartheta (x)$ ist durch ${}\vartheta (x)=\sum _{p\leq x,p{\text{ prim}}}\ln(p)\,$ gegeben.   Definition:Mersennesche Primzahl Eine Primzahl der Form ${}2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.   Definition:Teilersumme Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet man die Summe aller natürlichen Teiler von ${}n$ als ${}\sigma (n)$, also ${}\sigma (n)=\sum _{t{|}n}t\,.$   Definition:Vollkommene Zahl Eine natürliche Zahl ${}n$ heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von ${}n$ verschiedenen Teiler übereinstimmt.   Definition:Defiziente Zahl Eine natürliche Zahl ${}n$ heißt defizient, wenn die Summe der Teiler kleiner als ${}2n$ ist.   Definition:Abundante Zahl Eine natürliche Zahl ${}n$ heißt abundant, wenn die Summe der Teiler größer als ${}2n$ ist.   Definition:Sonderbare Zahl Eine natürliche abundante Zahl heißt sonderbar, wenn sie nicht als eine Teilsumme von ihren echten Teilern darstellbar ist.   Definition:Befreundete Zahlen Zwei verschiedene natürliche Zahlen ${}m$ und ${}n$ heißen befreundet, wenn ${}m$ gleich der Summe der echten Teiler von ${}n$ ist und umgekehrt.   Definition:Multiplikative zahlentheoretische Funktion Eine zahlentheoretische Funktion $f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {C}$ heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen ${}m,n$ stets ${}f(mn)=f(m)f(n)\,$ gilt.   Definition:Faltung Zu zahlentheoretischen Funktionen ${}f,g\colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow \mathbb {C}$ heißt die durch ${}(f*g)(n):=\sum _{d{\text{ teilt }}n}f(d)g{\left({\frac {n}{d}}\right)}\,$ definierte Funktion die Faltung von ${}f$ und ${}g$.   Definition:Möbius-Funktion Die zahlentheoretische Funktion ${}\mu \colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow \mathbb {C}$, die durch ${}\mu (n):={\begin{cases}0,\,{\text{falls in der Primfaktorzerlegung von }}n{\text{ manche Primfaktoren mehrfach auftreten}},\\(-1)^{k},\,{\text{ falls }}n=p_{1}\cdots p_{k}{\text{ mit verschiedenen Primfaktoren}}\,.\end{cases}}\,$ gegeben ist, heißt Möbius-Funktion.   Definition:Fermatsche Primzahl Eine Primzahl der Form ${}2^{s}+1$, wobei ${}s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.   Definition:Fermat-Zahl Eine Zahl der Form ${}2^{2^{r}}+1$, wobei ${}r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.   Definition:Sophie-Germain-Primzahl Eine Primzahl ${}p$ mit der Eigenschaft, dass auch ${}2p+1$ eine Primzahl ist, heißt Sophie-Germain-Primzahl.   Definition:Quasiprim Eine natürliche Zahl ${}n$ heißt quasiprim zur Basis ${}a$, wenn ${}a^{n-1}=1$ modulo ${}n$ gilt.   Definition:Carmichael-Zahl Eine natürliche Zahl ${}n$, die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu ${}n$ teilerfremde ganze Zahl ${}a$ ${}a^{n-1}=1\mod n\,$ gilt, heißt Carmichael-Zahl.   Definition:Quotientenkörper Zu einem Integritätsbereich ${}R$ ist der Quotientenkörper ${}Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche ${}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,$ mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.   Definition:Algebra Seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man ${}A$ eine ${}R$-Algebra.   Definition:Algebraisches Element Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine kommutative ${}K$-Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein Element. Dann heißt ${}f$ algebraisch über ${}K$, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ gibt.   Definition:Minimalpolynom Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$-Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein über ${}K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$, welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von ${}f$.   Definition:Algebraische Zahlen Eine komplexe Zahl ${}z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.   Definition:Körpererweiterung Sei ${}L$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ ein Unterkörper von ${}L$. Dann heißt ${}L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von ${}K$ und die Inklusion ${}K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.   Definition:Endliche Körpererweiterung Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.   Definition:Grad einer Körpererweiterung Sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die ${}K$-(Vektorraum-)Dimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.   Definition:Norm eines algebraischen Elementes Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element ${}f\in L$ nennt man die Determinante der ${}K$-linearen Abbildung $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$ die Norm von ${}f$. Sie wird mit ${}N(f)$ bezeichnet.   Definition:Spur eines algebraischen Elementes Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element ${}f\in L$ nennt man die Spur der ${}K$-linearen Abbildung $\varphi _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$ die Spur von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.   Definition:Separable Körpererweiterung Sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn für jedes Element ${}x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.   Definition:Diskriminate einer Basis Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ Elemente in ${}L$. Dann wird die Diskriminante von ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ durch ${}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{i,j}\right)\,$ definiert.   Definition:Modul Sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M=(M,+,0)$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt ${}M$ einen ${}R$-Modul, wenn eine Operation $R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$ (Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig): ${}r(su)=(rs)u$, ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$, ${}(r+s)u=(ru)+(su)$, ${}1u=u$.   Definition:Untermodul Sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt ${}R$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ${}(M,0,+)$ ist und wenn für jedes ${}u\in U$ und ${}r\in R$ auch ${}ru\in U$ ist.   Definition:Erzeugendensystem (Modul) Sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Eine Familie ${}v_{i}\in M$, ${}i\in I$, heißt Erzeugendensystem für ${}M$, wenn es für jedes Element ${}v\in M$ eine Darstellung ${}v=\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}\,$ gibt, wobei ${}J\subseteq I$ endlich ist und ${}r_{i}\in R$.   Definition:Endlicher Modul Sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Der Modul ${}M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem ${}v_{i}$, ${}i\in I$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).   Definition:Primideal Ein Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Primideal, wenn ${}{\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für ${}r,s\in R$ mit ${}r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: ${}r\in {\mathfrak {p}}$ oder ${}s\in {\mathfrak {p}}$.   Definition:Maximales Ideal Ein Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt maximales Ideal, wenn ${}{\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ keine weiteren Ideale gibt.   Definition:Ganzheitsgleichung Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ heißt eine Gleichung der Form ${}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,,$ wobei die Koeffizienten $r_{i},\,i=0,\ldots ,n-1$, zu ${}R$ gehören, eine Ganzheitsgleichung für ${}x$.   Definition:Ganzes Element Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Ein Element ${}x\in S$ heißt ganz (über ${}R$), wenn ${}x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus ${}R$ erfüllt.   Definition:Ganzer Abschluss Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente ${}x\in S$, die ganz über ${}R$ sind, den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}S$.   Definition:Ganze Ringerweiterung Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann heißt ${}S$ ganz über ${}R$, wenn jedes Element ${}x\in S$ ganz über ${}R$ ist.   Definition:Ganz-abgeschlossen Seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Man nennt ${}R$ ganz-abgeschlossen in ${}S$, wenn der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ gleich ${}R$ ist.   Definition:Normal Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.   Definition:Normalisierung Sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}Q(R)$ sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$.   Definition:Ganzer Zahlbereich Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}\mathbb {Z}$ in ${}L$ den Ring der ganzen Zahlen in ${}L$. Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.   Definition:Noetherscher Ring Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.   Definition:Dedekindbereich Einen Integritätsbereich ${}R$ nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Primideal darin maximal ist.   Definition:Diskriminante eines Zahlbereichs Es sei ${}R$ der Zahlbereich zur endlichen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$. Dann nennt man die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von ${}R$ die Diskriminante von ${}R$ (und die Diskriminante von ${}L$).   Definition:Endlicher Körper Sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\in \mathbb {N} _{+}$. Der aufgrund von Fakt bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen wird mit ${\mathbb {F} }_{q}$ bezeichnet.   Definition:Quadratischer Zahlbereich Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungskörper von ${}\mathbb {Q}$ vom Grad ${}2$.   Definition:Quadratfreie Zahl Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einem einfachen Exponenten vorkommt.   Definition:Reell- und imaginär-quadratische Zahlbereiche Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt ${}A_{D}$ reell-quadratisch, wenn ${}D$ positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn ${}D$ negativ ist.   Definition:Konjugation Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ die zugehörige quadratische Körpererweiterung und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann wird der Automorphismus (auf ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$, auf ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und auf ${}A_{D}$) $a+b{\sqrt {D}}\longmapsto a-b{\sqrt {D}}$ als Konjugation bezeichnet.   Definition:Norm eines Ideals Sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}A_{D}$. Dann nennt man die (endliche) Anzahl des Restklassenringes ${}A_{D}/{\mathfrak {a}}$ die Norm von ${}{\mathfrak {a}}$. Sie wird mit $N({\mathfrak {a}})$ bezeichnet.   Definition:Multiplikatives System Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften ${}1\in S$, Wenn ${}f,g\in S$, dann ist auch ${}fg\in S$, gelten.   Definition:Nenneraufnahme Sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System, ${}0\not \in S$. Dann nennt man den Unterring ${}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$ die Nenneraufnahme zu ${}S$.   Definition:Lokalisierung Sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an ${}S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ die Lokalisierung von ${}R$ an ${}{\mathfrak {p}}$. Man schreibt dafür ${}R_{\mathfrak {p}}$. Es ist also ${}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\subseteq Q(R)\,.$   Definition:Lokaler Ring Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.   Definition:Diskreter Bewertungsring Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.   Definition:Ordnung (diskreter Bewertungsring) Zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement ${}p$ heißt die Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft ${}f=up^{n}$, wobei ${}u$ eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {ord} \,(f)$ bezeichnet.   Definition:Hauptdivisor zu Ringelement Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ zuordnet, der durch ${}f$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ bezeichnet und als formale Summe ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\cdot {\mathfrak {p}}\,$ geschrieben.   Definition:Ordnung an Primstelle Es sei ${}R$ ein Zahlbereich, ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal in ${}R$ und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Dann heißt die Ordnung ${}\operatorname {ord} \,(f)$ im diskreten Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ die Ordnung von ${}f$ am Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ (oder an der Primstelle ${}{\mathfrak {p}}$ oder in ${}R_{\mathfrak {p}}$). Sie wird mit ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ bezeichnet.   Definition:Effektiver Divisor Sei ${}R$ ein Zahlbereich. Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe $\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$ die sich über alle Primideale ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ aus ${}R$ erstreckt und wobei ${}n_{\mathfrak {p}}$ natürliche Zahlen sind mit ${}n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${}{\mathfrak {p}}$.   Definition:Effektiver Divisor zu einem Ideal Sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Dann nennt man den Divisor ${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$ mit ${}m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,({\mathfrak {a}}):=\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f){|}f\in {\mathfrak {a}},\,f\neq 0\right)\,$ den Divisor zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}$.   Definition:Ideal zu einem effektiven Divisor Sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$ ein effektiver Divisor (wobei ${}{\mathfrak {p}}$ durch die Menge der Primideale ${}\neq 0$ läuft). Dann nennt man ${\left\{f\in R\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$ das Ideal zum Divisor ${}D$. Es wird mit ${}\operatorname {Id} (D)$ bezeichnet.   Definition:Divisor Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe $\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$ die sich über alle Primideale ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ aus ${}R$ erstreckt und wobei ${}n_{\mathfrak {p}}$ ganze Zahlen mit ${}n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${}{\mathfrak {p}}$ sind.   Definition:Hauptdivisor Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)$ zuordnet, der durch ${}q$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit ${}\operatorname {div} {\left(q\right)}$ bezeichnet und als formale Summe ${}\operatorname {div} {\left(q\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)\cdot {\mathfrak {p}}\,$ geschrieben.   Definition:Gebrochenes Ideal Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Dann nennt man einen endlich erzeugten ${}R$-Untermodul ${}{\mathfrak {f}}$ des ${}R$-Moduls ${}Q(R)$ ein gebrochenes Ideal.   Definition:Gebrochenes Hauptideal Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form ${}{\mathfrak {f}}=Rq$ mit ${}q\in Q(R)$ ein gebrochenes Hauptideal.   Definition:Produkt von gebrochenen Idealen Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Dann definiert man für gebrochene Ideale ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ das Produkt ${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}$ als den von allen Produkten erzeugten ${}R$-Untermodul von ${}Q(R)$, also ${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}:=R\langle gf:\,f\in {\mathfrak {f}},\,g\in {\mathfrak {g}}\rangle \,,$ wobei die Produkte in ${}Q(R)$ zu nehmen sind.   Definition:Gebrochenes Ideal zu einem Divisor Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$ ein Divisor (wobei ${}{\mathfrak {p}}$ durch die Menge der Primideale ${}\neq 0$ läuft). Dann nennt man ${\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$ das gebrochene Ideal zum Divisor ${}D$. Es wird mit ${}\operatorname {Id} (D)$ bezeichnet.   Definition:Divisor zum gebrochenen Ideal Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}{\mathfrak {f}}\neq 0$ ein von ${}0$ verschiedenes gebrochenes Ideal. Dann nennt man den Divisor ${}\operatorname {div} ({\mathfrak {f}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$ mit ${}m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f){|}f\in {\mathfrak {f}},\,f\neq 0\right)\,$ den Divisor zum gebrochenen Ideal ${}{\mathfrak {f}}$.   Definition:Divisorenklassengruppe Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Es sei ${}\operatorname {Div} {\left(R\right)}$ die Gruppe der Divisoren und ${}H\subseteq \operatorname {Div} {\left(R\right)}$ sei die Untergruppe der Hauptdivisoren. Dann nennt man die Restklassengruppe ${}\operatorname {KG} {\left(R\right)}=\operatorname {Div} {\left(R\right)}/H\,$ die Divisorenklassengruppe von ${}R$.   Definition:Normeuklidischer Bereich Sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt ${}A_{D}$ normeuklidisch, wenn die Normfunktion auf ${}A_{D}$ eine euklidische Funktion ist.   Definition:Gitter Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängige Vektoren im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Dann heißt die Untergruppe ${}\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$.   Definition:Konvexe Teilmenge Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten ${}P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form $rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],$ ebenfalls zu ${}T$ gehört.   Definition:Konvexe Hülle Zu einer Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt die kleinste konvexe Teilmenge ${}T$, die ${}U$ umfasst, die konvexe Hülle von ${}U$.   Definition:Grundmasche Zu einem durch linear unabhängige Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren ${}\epsilon _{1}v_{1}+\cdots +\epsilon _{n}v_{n}$ mit ${}\epsilon _{i}\in \{0,1\}$ als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.   Definition:Zentralsymmetrisch Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt ${}P\in T$ auch der Punkt ${}-P$ zu ${}T$ gehört.   Definition:Kompakt (Überdeckungskompakt) Ein topologischer Raum ${}X$ heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}I$ eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart gibt, dass ${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$ ist.   Definition:Klassenzahl Sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von ${}A_{D}$ die Klassenzahl von ${}A_{D}$.   Definition:Binäre quadratische Form Unter einer binären quadratischen Form versteht man einen Ausdruck der Gestalt $aX^{2}+bXY+cY^{2}$ mit ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$.   Definition:Diskriminante (binäre quadratische Form) Zu einer binären quadratischen Form $aX^{2}+bXY+cY^{2}$ nennt man $b^{2}-4ac$ die Diskriminante der Form.   Definition:Darstellbar (binäre quadratische Form) Man sagt, dass eine ganze Zahl ${}n$ durch eine binäre quadratische Form $aX^{2}+bXY+cY^{2}$ darstellbar ist, wenn es ganze Zahlen ${}(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ mit ${}n=ax^{2}+bxy+cy^{2}\,$ gibt.   Definition:Einfache binäre quadratische Form Eine binäre quadratische Form ${}aX^{2}+bXY+cY^{2}$ heißt einfach, wenn die Koeffizienten ${}a,b,c$ teilerfremd sind.   Definition:Äquivalenz von binären quadratischen Formen Zwei binäre quadratische Formen $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,F'=a'X^{2}+b'XY+c'Y^{2}$ heißen äquivalent, wenn es eine ganzzahlige invertierbare ${}2\times 2$-Matrix ${}M$ mit ${}F'=FM\,$ gibt.   Definition:Strikte Äquivalenz von binären quadratischen Formen Zwei binäre quadratische Formen $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,F'=a'X^{2}+b'XY+c'Y^{2}$ heißen strikt äquivalent, wenn es eine ganzzahlige ${}2\times 2$-Matrix ${}M$ mit Determinante ${}1$ und mit ${}F'=FM\,$ gibt.   Definition:Quadratische Form Sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine quadratische Form auf einem ${}R$-Modul ${}L$ ist eine Abbildung $Q\colon L\longrightarrow R,$ die die beiden Eigenschaften ${}Q(rv)=r^{2}Q(v)\,$ für alle ${}r\in R$ und ${}v\in L$, ${}Q(u+v)+Q(u-v)=2Q(u)+2Q(v)\,$ für alle ${}u,v\in L$, erfüllt.