Für von
0
{\displaystyle {}0}
v
{\displaystyle {}v}
w
{\displaystyle {}w}
euklidischen Vektorraum
V
{\displaystyle {}V}
Ungleichung von Cauchy-Schwarz ,
dass
−
1
≤
⟨
v
,
w
⟩
‖
v
‖
⋅
‖
w
‖
≤
1
{\displaystyle {}-1\leq {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\leq 1\,}
ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion
Kosinus
(als bijektive Abbildung
[
0
,
π
]
→
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle {}[0,\pi ]\rightarrow [-1,1]}
∠
(
v
,
w
)
:=
arccos
⟨
v
,
w
⟩
‖
v
‖
⋅
‖
w
‖
.
{\displaystyle {}\angle (v,w):=\arccos {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\,.}
Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen
0
{\displaystyle {}0}
π
{\displaystyle {}\pi }
V
=
C
=
R
2
{\displaystyle {}V=\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}}
⟨
a
+
b
i
,
c
+
d
i
⟩
=
a
c
+
b
d
{\displaystyle {}\left\langle a+b{\mathrm {i} },c+d{\mathrm {i} }\right\rangle =ac+bd\,}
und somit ist der Winkel zwischen
v
=
a
+
b
i
{\displaystyle {}v=a+b{\mathrm {i} }}
w
=
c
+
d
i
{\displaystyle {}w=c+d{\mathrm {i} }}
∠
(
v
,
w
)
:=
arccos
a
c
+
b
d
a
2
+
b
2
⋅
c
2
+
d
2
=
arccos
Re
(
v
⋅
w
¯
)
|
v
|
⋅
|
w
|
.
{\displaystyle {}\angle (v,w):=\arccos {\frac {ac+bd}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}}=\arccos {\frac {\operatorname {Re} \,{\left(v\cdot {\overline {w}}\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}\,.}
![{\displaystyle {}[0,\pi ]\rightarrow [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e6b3005ba8d4d1af081eb25b71000609da4393)
