Beim Heron-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von
einer positiven Zahl
geht man iterativ wie folgt vor. Man startet mit einem beliebigen positiven Startwert
und berechnet davon das
arithmetische Mittel
aus
und
.
Dieses Mittel nennt man
. Es gilt
-
![{\displaystyle {}x_{1}^{2}-c={\left({\frac {x_{0}+{\frac {c}{x_{0}}}}{2}}\right)}^{2}-c={\frac {x_{0}^{2}+2c+{\frac {c^{2}}{x_{0}^{2}}}}{4}}-c={\frac {x_{0}^{2}-2c+{\frac {c^{2}}{x_{0}^{2}}}}{4}}={\left({\frac {x_{0}-{\frac {c}{x_{0}}}}{2}}\right)}^{2}\geq 0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0efc32a43aa14da3b82bd514ac11c626482a872)
D.h. dass
mindestens so groß wie
ist. Auf
wendet man iterativ das gleiche Verfahren an und erhält so
usw. Die rekursive Definition von
lautet also
-
![{\displaystyle {}x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d015f39ffc7c4b1124ae8442929f556830bed5c)
Nach Konstruktion weiß man, dass
in jedem Intervall
(für
)
liegt, da aus
direkt
folgt. Bei jedem Schritt gilt
-
![{\displaystyle {}[{\frac {c}{x_{n+1}}},x_{n+1}]\subseteq [{\frac {c}{x_{n}}},x_{n}]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9126955fac4c74804a7e3de757aad460813955f8)
d.h. das Nachfolgerintervall liegt innerhalb des Vorgängerintervalls. Dabei wird bei jedem Schritt die Intervalllänge mindestens halbiert.