# X^2+Y^3+Z^3/Charakteristik 2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

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${\displaystyle {}F=X^{2}+Y^{3}+Z^{3}\,}$

in Charakteristik ${\displaystyle {}2}$. Die relevanten Taylor-Ableitungen sind

${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial }{\partial X}}\right)}^{2}(F)=1\,,}$
${\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial y}}(F)=Y^{2}\,,}$
${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial }{\partial Y}}\right)}^{2}(F)=Y\,,}$
${\displaystyle {}{\frac {1}{6}}{\left({\frac {\partial }{\partial Y}}\right)}^{3}(F)=1\,}$

und ebenso für ${\displaystyle {}Z}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&0&0&0&0\\B&Y^{2}&0&0&0\\C&Z^{2}&0&0&0\\A^{2}&1&0&0&0\\AB&0&Y^{2}&0&0\\AC&0&Z^{2}&0&0\\B^{2}&Y&0&Y^{2}&0\\BC&0&0&Z^{2}&Y^{2}\\C^{2}&Z&0&0&Z^{2}\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C&Z^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\AB&0&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\AC&0&Z^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\B^{2}&Y&0&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0\\BC&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0&0&0&0\\C^{2}&Z&0&0&Z^{2}&0&0&0&0&0&0\\A^{3}&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}B&0&0&1&0&Y^{2}&0&0&0&0&0\\A^{2}C&0&0&0&1&Z^{2}&0&0&0&0&0\\AB^{2}&0&Y&0&0&0&Y^{2}&0&0&0&0\\ABC&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0\\AC^{2}&0&Z&0&0&0&0&Z^{2}&0&0&0\\B^{3}&1&0&Y&0&0&0&0&Y^{2}&0&0\\B^{2}C&0&0&0&Y&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0\\BC^{2}&0&0&Z&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}\\C^{3}&1&0&0&Z&0&0&0&0&0&Z^{2}\end{pmatrix}}.}$

Unitäre Operatoren sind (Ordnung:Operator:Zeilenelimination)

${\displaystyle {\text{Ordnung }}0:\,1:\,1,}$
${\displaystyle {\text{Ordnung }}1:\,\delta ={\frac {\partial }{\partial X}}:\,A,}$
${\displaystyle {\text{Ordnung }}2:\,{\frac {\partial }{\partial Y}}-Y^{2}{\left({\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial X}}\right)}:B-Y^{2}A^{2}\,,Z^{2}{\left({\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial X}}\right)}-{\frac {\partial }{\partial Z}}:\,C-Z^{2}A^{2},}$
${\displaystyle {\text{Ordnung }}3:\,{\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial Y}}-Y^{2}{\left({\frac {1}{6}}{\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial X}}\right)}:\,AB-Y^{2}A^{3},}$
${\displaystyle {\text{Ordnung }}3:\,{\frac {\partial }{\partial Y}}\circ {\frac {\partial }{\partial Z}}+Z^{2}{\left({\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial Y}}\right)}+Y^{2}{\left({\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial Z}}\right)}:\,BC+Z^{2}A^{2}B+Y^{2}A^{2}C.}$

Die unitären Operatoren wachsen also ${\displaystyle {}1/1,2/3,4/6,7/10,...}$.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}&A^{3}&A^{2}B&A^{2}C&AB^{2}&ABC&AC^{2}&B^{3}&B^{2}C&BC^{2}&C^{3}\\A^{4}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{3}B&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{3}C&Z^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}B^{2}&0&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}BC&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}C^{2}&0&0&Z^{2}&0&0&0&0&0&0&0\\AB^{3}&0&0&0&Y^{2}&0&0&0&0&0&0\\AB^{2}C&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0&0&0\\ABC^{2}&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0&0\\AC^{3}&0&0&0&0&0&Z^{2}&0&0&0&0\\B^{4}&0&0&0&0&0&0&Y^{2}&0&0&0\\B^{3}C&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0\\B^{2}C^{2}&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0\\BC^{3}&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}\\C^{4}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}\end{pmatrix}}.}$
${\displaystyle {\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}&A^{3}&A^{2}B&A^{2}C&AB^{2}&ABC&AC^{2}&B^{3}&B^{2}C&BC^{2}&C^{3}\\A^{4}&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{3}B&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{3}C&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&Z^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}B^{2}&0&0&0&0&Y&0&0&1&0&0&0&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}BC&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}C^{2}&0&0&0&0&Z&0&0&0&0&1&0&0&Z^{2}&0&0&0&0&0&0&0\\AB^{3}&0&1&0&0&0&Y&0&0&0&0&0&0&0&Y^{2}&0&0&0&0&0&0\\AB^{2}C&0&0&0&0&0&0&Y&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0&0&0\\ABC^{2}&0&0&0&0&0&Z&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0&0\\AC^{3}&0&1&0&0&0&0&Z&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&0&0&0&0\\B^{4}&0&0&1&0&0&0&0&Y&0&0&0&0&0&0&0&0&Y^{2}&0&0&0\\B^{3}C&0&0&0&1&0&0&0&0&Y&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0\\B^{2}C^{2}&0&0&0&0&0&0&0&Z&0&Y&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0\\BC^{3}&0&0&1&0&0&0&0&0&Z&0&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}\\C^{4}&0&0&0&1&0&0&0&0&0&Z&0&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}\end{pmatrix}}.}$