X^2+y^4/Volumen zu Grundquadrat/Extremum/Aufgabe/Lösung

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a) Das Volumen ist

b) Die Ableitung der Volumenfunktion

ist

Ein Minimum kann nur vorliegen, wenn die Ableitung ist. Wir zeigen, dass dies nur für ein der Fall sein kann. Wegen der ersten Komponente muss sein. Wir zeigen, dass die zweite Komponente

ebenfalls nur eine Nullstelle besitzt, indem wir zeigen, dass streng wachsend ist. Die Ableitung von ist

Diese Funktion ist für und offenbar positiv, sie besitzt also genau ein Minimum, und zwar wegen

bei

Der Wert des Minimums von ist

Dies bedeutet, dass stets positiv ist und somit ist streng wachsend. Da ferner ein Polynom vom Grad ist, also für und für gilt, besitzt genau eine Nullstelle. Insgesamt besitzt also genau einen kritischen Punkt.

Wir müssen noch zeigen, dass in dem einzigen kritischen Punkt ein Minimum von vorliegt. Die Hesse-Matrix zu ist

Diese Matrix ist für jedes nach der oben durchgeführten Berechnung positiv definit, also liegt im kritischen Punkt ein Minimum vor.