X^2 und Wurzel aus x/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe/Lösung

Für $x$ zwischen $0$ und $1$ ist $0\le x^2\le x\le \sqrt{x}\le 1$ und für $x\ge 1$ ist $x^2\ge \sqrt{x}$. Die eingeschlossene Fläche liegt also innerhalb des Einheitsquadrates. Daher ist der Flächeninhalt gleich dem bestimmten Integral der Wurzelfunktion von $0$ bis $1$ minus dem bestimmten Integral (in den gleichen Grenzen) zur Parabel. Daher ist der Flächeninhalt gleich

$\begin{array}{cc}A& ={\int }_0^1\sqrt{x}dx-{\int }_0^1{x}^{2}dx\\ & =\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}{|}_0^1-\frac{1}{3}{x}^3{|}_0^1\\ & =\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\\ & =\frac{1}{3}.\end{array}$

Zur gelösten Aufgabe