X^3+xy^4+cy^6/C/Faktorzerlegung/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz

${}X^{3}+XY^{4}+cY^{6}={\left(X-\alpha Y^{2}\right)}{\left(X-\beta Y^{2}\right)}{\left(X-\gamma Y^{2}\right)}\,.$

Ausmultiplizieren ergibt

${}{\left(X-\alpha Y^{2}\right)}{\left(X-\beta Y^{2}\right)}{\left(X-\gamma Y^{2}\right)}=X^{3}-(\alpha +\beta +\gamma )X^{2}Y^{2}+(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma )XY^{4}-\alpha \beta \gamma Y^{6}\,,$

was auf die Bedingungen

${}\alpha +\beta +\gamma =0\,,$

${}\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma =1\,$

und

${}\alpha \beta \gamma =-c\,$

führt. Dies bedeutet wiederum (setze ${}Y=1$), dass

${}(X-\alpha )(X-\beta )(X-\gamma )=X^{3}+X+c\,$

ist, d.h., die ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ müssen die Nullstellen von ${}X^{3}+X+c$ sein, die es nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt.

Zur gelösten Aufgabe