Y'' ist -cy/Zweidimensionaler Lösungsraum/Aufgabe/Kommentar

Wir wissen bereits, dass die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus Lösungen der Differentialgleichung ${}y''=-y$ sind und somit zwei Lösungen für den Spezialfall ${}c=1$ sind. Durch kleine Anpassung können wir daraus Lösungen für die Differentialgleichung ${}y'=-cy$ bauen. Tatsächlich stellen wir durch zweimaliges Ableiten feststellen, dass ${}\sin({\sqrt {c}}t)$ eine Lösung darstellt, ebenso wie ${}\cos({\sqrt {c}}t)$ .

Nun haben wir zwei verschiedene Lösungen gefunden. Bei der Differentialgleichung handelt es sich um eine homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung, sodass alle Linearkombinationen der beiden gefundenen Lösungen ebenfalls Lösungen der Differentialgleichung sind. Dies kann man sich wieder durch Einsetzen in die Differentialgleichung klarmachen. So erhalten wir den zweidimensionalen Lösungsraum

\{\lambda \sin({\sqrt {c}}t)+\mu \cos({\sqrt {c}}t)\mid \lambda ,\mu \in \mathbb {R} \}.

Dies lässt sich auch anhand der Potenzreihenentwicklung verstehen. Wir machen den Ansatz

y(t)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\frac {t^{k}}{k!}}

mit Koeffizienten ${}a_{k}\in \mathbb {R}$ . Für die zweite Ableitung ergibt sich durch formales Ableiten

y''(t)=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k}{\frac {k(k-1)t^{k-2}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k+2}{\frac {t^{k}}{k!}}.

Setzen wir das nun in die Differentialgleichung ${}y''=-cy$ ein, stellen wir durch Koeffizientenvergleich fest, dass ${}a_{k+2}=-ca_{k}$ für alle ${}k\in \mathbb {N}$ gilt. Das bedeutet, dass die Potenzreihe ${}y(t)$ bereits durch die ersten beiden Koeffizienten ${}a_{0},a_{1}$ vollständig festgelegt wird, da sich die restlichen Koeffizienten rekursiv daraus berechnen lassen. Der Lösungsraum ist daher tatsächlich zweidimensional.