Z-graduierter Ring/Erste Stufe erzeugt/Veronesering ebenso/Fakt/Beweis

Beweis

Es genügt zu zeigen, dass jedes homogene Element von ${}A^{(s)}$ von ${}A_{s}$ erzeugt wird. Es sei also  ${}f\in A_{sd}$.  Nach Voraussetzung ist

${}f=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}r_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,$

mit Elementen  ${}x_{i}\in A_{1}$  und mit  ${}\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}=sd$.  Diese Summe kann man in ${}d$ Teilsummen aufspalten, d.h. man kann  ${}x^{\nu }=x^{\mu _{1}}\cdots x^{\mu _{d}}$  schreiben, wobei die ${}\mu _{j}$ jeweils Gradtupel vom Grad ${}s$ sind.

Zur bewiesenen Aussage