Z/Irreduzibles Polynom/Faserbeschreibung/Bemerkung
Ist z. B. durch ein in irreduzibles Polynom gegeben, also , so wird die „Faser“ (diese Terminologie lässt sich genauer begründen) über durch den Restklassenring beschrieben (den wir auch den Faserring über nennen), wobei bedeutet, dass man jeden Koeffizient von (der ja eine ganze Zahl ist) durch seine Restklasse in ersetzt. Dabei kann natürlich die Irreduzibilität des Polynoms verloren gehen, und dies beschreibt wichtige Eigenschaften von in . Man beachte hierbei die Isomorphie
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192c251bd578fa7224f44f5d4539c9813b31aa46)
![{\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/(F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f904cf118542b03fc95974b2d99bd846a9737cba)
![{\displaystyle {}(\mathbb {Z} /(p))[X]/({\overline {F}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68dab7917181cedb8c9f521434c83a8649343c6)
![{\displaystyle {}R/pR\cong (\mathbb {Z} /(p))[X]/({\overline {F}})\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0966512733a9b4aa03303857f771b50665e1da41)
die auf allgemeinen Gesetzen für Ideale beruht. Sie besagt insbesondere, dass ein Primelement in genau dann ist, wenn irreduzibel in ist. Insgesamt liegt eine endliche Erweiterung
![{\displaystyle {}(\mathbb {Z} /(p))[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8e065fb1cf1195b57a88bcf24d57173b73888c3)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)\subseteq (\mathbb {Z} /(p))[X]/({\overline {F}})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eb9ae4c4237b83917623504d81d1af47c556bf4)
vor. Dabei sind beide Ringe endlich (besitzen also nur endlich viele Elemente), und links steht ein endlicher Körper, so dass die Erweiterung also sofort ein Vektorraum ist (der selbst ein Körper sein kann, aber nicht muss) und eine gewisse Dimension besitzt (nämlich den Grad von ).