Z/Normiertes Polynom/Generisch normal/Fakt/Beweis
Beweis
Wir betrachten als irreduzibles Polynom in . In Charakteristik sind irreduzibel und teilerfremd. Deshalb gibt es Polynome mit . Es sei ein Hauptnenner der Koeffizienten von und . Dann gibt es Polynome mit . Für jede Primzahl , die kein Teiler von ist, gilt entsprechend in und ist dort eine Einheit. Deshalb sind in teilerfremd und die Normalität von folgt aus Fakt.
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05854fb7f5090d865105d7297fa178c8eb802fbf)
![{\displaystyle {}A,B\in \mathbb {Q} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7d793eb23a657dda36d8b9fa1b2e56aa778995)
![{\displaystyle {}C,D\in \mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad660ad9e6bd7f3319b4b04aac3234ef84999fca)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa91a5bfd911769c2c190f03a767d15f5f376af4)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} _{(p)}[X]/(F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f56e8bf5a083a7ab0b21907c1a0b98630cf6c7b)