Z mod 10/Potenzierung/Identität/Aufgabe/Lösung

1. Wir gehen die Exponenten

   ${}n=2,3,4,...\,$

   durch und schauen, ob die Abbildung

   $\mathbb {Z} /(10)\longrightarrow \mathbb {Z} /(10),\,x\longmapsto x^{n},$

   die Identität ist oder nicht. Alle Rechnungen werden in ${}\mathbb {Z} /(10)$ durchgeführt.

   ${}n=2\,.$

   Wegen

   ${}2^{2}=4\neq 2\,$

   ist dies nicht die Identität.

   ${}n=3\,.$

   Wegen

   ${}2^{3}=8\neq 2\,$

   ist dies nicht die Identität.

   ${}n=4\,.$

   Wegen

   ${}2^{4}=16=6\neq 2\,$

   ist dies nicht die Identität.

   ${}n=5\,.$

   Es ist

   ${}2^{5}=32=2\,,$

   ${}3^{5}=243=3\,,$

   ${}4^{5}={\left(2^{5}\right)}^{2}=2^{2}=4\,,$

   ${}5^{5}=5\,.$

   Für ${}x$ zwischen ${}6$ und ${}9$ gehört ${}-x$ zum bereits untersuchten Bereich und es ist

   ${}(-x)^{5}=(-1)^{5}x^{5}=-x\,.$

   Daher ist die fünfte Potenzierung die Identität. Der minimale Exponent ist somit ${}5$.

2. Die Endziffer im Zehnersystem ist einfach der Rest modulo ${}10$. Daher bedeutet das Ergebnis, dass die Endziffer der fünften Potenz einer natürlichen Zahl stets mit deren Endziffer übereinstimmt, und dass dies nicht für die zweite, dritte oder vierte Potenz gilt.

Zur gelösten Aufgabe