Z mod p/Polynomring/Frei via Frobenius/Beispiel

Auf dem Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist der Frobeniushomomorphismus die Identität nach dem kleinen Fermat. Auf dem Polynomring

${}R=\mathbb {Z} /(p)[X_{1},\ldots ,X_{d}]\,$

stimmt daher der Frobeniushomomorphismus mit dem Einsetzungshomomorphismus

$\mathbb {Z} /(p)[X_{1},\ldots ,X_{d}]\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)[X_{1},\ldots ,X_{d}],\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{p},$

überein. Daher bilden die Monome ${}X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{d}^{r_{d}}$, ${}0\leq r_{j}<p$, eine ${}R$-Basis von ${}\,^{1}R$. Dabei ist klar, dass ein Erzeugendensystem vorliegt, da man jedes Monom ${}X_{1}^{s_{1}}\cdots X_{d}^{s_{d}}$ wegen

${}s_{j}=m_{j}p+r_{j}\,$

als

${}X_{1}^{s_{1}}\cdots X_{d}^{s_{n}}={\left(X_{1}^{p}\right)}^{m_{1}}\cdots {\left(X_{d}^{p}\right)}^{m_{d}}\cdot X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{d}^{r_{d}}\,$

schreiben kann, und das Monom links vom Frobenius herrührt. Da diese Darstellung eindeutig ist, sind die angegebenen Monome auch linear unabhängig. Der ${}R$-Modul ${}\,^{1}R$ ist also frei von Rang ${}p^{d}$. Die entsprechende Überlegung zeigt, dass ${}\,^{e}R$ frei vom Rang ${}{\left(p^{e}\right)}^{d}$ ist.