Wir betrachten im
quadratischen Zahlbereich
das Ideal
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![{\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93a796cbd09f69e4659068847f7e0317ce21c04)
Aufgrund der Gleichung
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![{\displaystyle {}2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b6ecbd710f78225aa7fc9a04f9442e4d63cf49)
ist
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Wir behaupten, dass das inverse gebrochene Ideal
gleich
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![{\displaystyle {}{\mathfrak {f}}=R{\left(1,{\frac {1-{\sqrt {-5}}}{2}}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964cf703357cf02cceaaf401af8a568c2240877a)
ist, wobei sich die Inklusion
aus der vorstehenden Zeile ergibt. Andererseits gilt wegen
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![{\displaystyle {}-2\cdot 1+(1+{\sqrt {-5}}){\frac {1-{\sqrt {-5}}}{2}}=-2+3=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913bed7edfeec7e56582a8a62f3f433950436165)
für das Produkt
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![{\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {f}}=R\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a46ad1df8532eb5d3999c05671d721a70df1c59)
und dies impliziert nach
Aufgabe
die Gleichheit
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